浙江 2016 · 数学 q18

冷启动：把「新定义」翻译成一句人话

记

$$f(x)=2|x-1| ,\qquad g(x)=x^{2}-2ax+4a-2 ,\qquad F(x)=\min\{f(x),\ g(x)\} .$$

题目给的 $\min$ 定义看着唬人，其实只说了一件事：$F$ 的图象就是两条曲线里靠下的那条。 两支相等的地方，约定规定「取前一支」，但那只是为了让定义无歧义—— 两支的值本来就相同，取哪一支算出来的数一样。这一点在第（Ⅰ）问会直接决定端点的开闭。

三个问的性质完全不同，动手之前先分清：

• 第（Ⅰ）问问的是两支谁大谁小，等价于解不等式 $g(x)\leqslant f(x)$。
• 第（Ⅱ）(i) 问的是 $F$ 在全体实数上的最小值。这一问可以绕过分段： $F$ 处处不超过两支，所以它的最小值就是两支的最小值里较小的那个。
• 第（Ⅱ）(ii) 问的是 $F$ 在 $[0,6]$ 上的最大值。这一问绕不过分段： 必须知道 $[0,6]$ 上 $F$ 到底走哪一支。

还有一个条件千万别当摆设：$a\geqslant 3$。它至少管三件事—— 保证 $2<2a$、保证 $2a\geqslant 6$（于是 $[2,6]$ 整段都在同一支上）、 保证 $a>2-\sqrt2$ 那一侧的讨论不必再开。

解法一：作差因式分解，符号一路定到底

（Ⅰ）第一步：把问题翻译成一个不等式

$$F(x)=g(x)\iff \min\{f(x),\ g(x)\}=g(x)\iff g(x)\leqslant f(x) .$$

是小于等于，不是严格小于。$g=f$ 的那些点上 $F$ 按约定取的是 $f$， 但 $f$ 与 $g$ 的值相同，等式 $F(x)=g(x)$ 照样成立，所以这些点必须留在解集里。

（Ⅰ）第二步：$x\leqslant 1$ 这一段，差恒正

此时 $|x-1|=1-x$，

$$g(x)-f(x)=x^{2}-2ax+4a-2-2(1-x)=x^{2}-2(a-1)x+4(a-1)=x^{2}+2(a-1)(2-x) .$$

由 $a\geqslant 3$ 得 $a-1\geqslant 2>0$；由 $x\leqslant 1$ 得 $2-x\geqslant 1>0$。于是

$$g(x)-f(x)\geqslant x^{2}+2\times 2\times 1>0 .$$

差恒正，说明这一段上 $F=f\neq g$（除非 $f=g$，而这里差严格为正，不会发生）。 $x\leqslant 1$ 全部出局。

（Ⅰ）第三步：$x>1$ 这一段，差能因式分解

此时 $|x-1|=x-1$，

$$g(x)-f(x)=x^{2}-2ax+4a-2-2(x-1)=x^{2}-(2a+2)x+4a=(x-2)(x-2a) .$$

两个根是 $2$ 与 $2a$，由 $a\geqslant 3$ 知 $2a\geqslant 6>2$。开口向上的二次式在两根之间取负，于是

$$g(x)-f(x)\leqslant 0\iff 2\leqslant x\leqslant 2a .$$

这一段本身要求 $x>1$，而 $[2,2a]$ 整个落在 $(1,+\infty)$ 里，取出来还是它自己。

$$\boxed{F(x)=x^{2}-2ax+4a-2\iff 2\leqslant x\leqslant 2a}$$

端点检验一下更放心：$f(2)=2$、$g(2)=4-4a+4a-2=2$，两支相等； $f(2a)=2(2a-1)=4a-2$、$g(2a)=4a^{2}-4a^{2}+4a-2=4a-2$，也相等。都成立，闭区间。

（Ⅱ）(i) 第一步：先把两支各自的最小值算出来

$$\min_x f(x)=f(1)=0 ,\qquad \min_x g(x)=g(a)=-a^{2}+4a-2 .$$

（$f(x)=2|x-1|\geqslant 0$，等号在 $x=1$ 取到；$g$ 开口向上，对称轴 $x=a$。）

（Ⅱ）(i) 第二步：下界——$F$ 不可能低于这两个数里较小的那个

对任意 $x$ 都有 $f(x)\geqslant 0$ 与 $g(x)\geqslant g(a)$。 两个数各自被压住，取小之后还是被压住：

$$F(x)=\min\{f(x),\ g(x)\}\geqslant\min\{0,\ g(a)\}\qquad(\text{对一切 }x) .$$

这一刀的方向千万别反。 $F\leqslant f$、$F\leqslant g$ 是显然的， 但它们只给出 $F$ 的上界，对求最小值没有任何用处； 要把最小值从下面顶住，必须搬出两支各自的下界。

（Ⅱ）(i) 第三步：上界——这个下界确实被取到

• 在 $x=1$ 处：$g(1)=1-2a+4a-2=2a-1\geqslant 5>0=f(1)$，故 $F(1)=f(1)=0$。
• 在 $x=a$ 处：$g(a)-f(a)=(-a^{2}+4a-2)-2(a-1)=-a^{2}+2a=-a(a-2)<0$（因 $a\geqslant 3$）， 故 $F(a)=g(a)=-a^{2}+4a-2$。

两个候选都是 $F$ 在某点的真实取值，特别地，其中较小的那个也被 $F$ 取到了。 与第二步的下界一夹，等号成立：

$$m(a)=\min\{0,\ -a^{2}+4a-2\} .$$

（Ⅱ）(i) 第四步：比大小，定分界

$$-a^{2}+4a-2\geqslant 0\iff a^{2}-4a+2\leqslant 0\iff 2-\sqrt2\leqslant a\leqslant 2+\sqrt2 .$$

结合 $a\geqslant 3$，注意 $2+\sqrt2\approx 3.414>3$，所以两段都非空：

$$\boxed{m(a)=\begin{cases}0, & 3\leqslant a\leqslant 2+\sqrt2\\[2pt] -a^{2}+4a-2, & a>2+\sqrt2\end{cases}}$$

（Ⅱ）(ii) 第一步：$[0,2]$ 上先放缩再验等号

$F\leqslant f$，而 $f(x)=2|x-1|$ 在 $[0,1]$ 递减、在 $[1,2]$ 递增，最大值在端点：

$$F(x)\leqslant f(x)\leqslant\max\{f(0),\ f(2)\}=\max\{2,\ 2\}=2 .$$

放缩到这里必须回头验等号，否则 $2$ 只是个上界。 $F(2)=\min\{f(2),\ g(2)\}=\min\{2,\ 2\}=2$，取到了。

（Ⅱ）(ii) 第二步：$(2,6]$ 上同样先放缩再验

$F\leqslant g$，而 $g$ 开口向上，在闭区间上的最大值只能在端点：

$$F(x)\leqslant g(x)\leqslant\max\{g(2),\ g(6)\}=\max\{2,\ 34-8a\} .$$

（$g(6)=36-12a+4a-2=34-8a$。）

验等号：$F(6)=\min\{f(6),\ g(6)\}=\min\{10,\ 34-8a\}$， 而 $34-8a\leqslant 34-24=10$（用了 $a\geqslant 3$），所以 $F(6)=34-8a$，取到了。 另一个候选 $2$ 在上一步已经由 $F(2)$ 取到。

（Ⅱ）(ii) 第三步：合并两段

$$M(a)=\max\{2,\ 34-8a\} ,\qquad 34-8a\geqslant 2\iff a\leqslant 4 .$$ $$\boxed{M(a)=\begin{cases}34-8a, & 3\leqslant a\leqslant 4\\[2pt] 2, & a>4\end{cases}}$$

解法二：先把 $F$ 写成显式分段函数，再逐段求最值

这条路多花一步把 $F$ 的解析式写全，换来后面两问全是常规的闭区间求最值， 不必做任何放缩，也就不必回头验等号。

（Ⅰ）第一步：$x\geqslant 1$ 上解交点方程

$f(x)=2x-2$，令 $f=g$：

$$2x-2=x^{2}-2ax+4a-2\iff x^{2}-(2a+2)x+4a=0\iff (x-2)(x-2a)=0 .$$

两个交点 $x=2$ 与 $x=2a$，由 $a\geqslant 3$ 知它们都在 $[1,+\infty)$ 内，且 $2<2a$。

$g-f$ 是开口向上的二次式，两根之间为负、两根之外为正。所以在 $x\geqslant 1$ 上

$$g\leqslant f\iff 2\leqslant x\leqslant 2a .$$

（Ⅰ）第二步：$x<1$ 上用单调性一句话解决

此时 $f(x)=2-2x$，记

$$h(x)=g(x)-f(x)=x^{2}-2ax+4a-2-(2-2x)=x^{2}-(2a-2)x+4a-4 .$$

$h$ 开口向上，对称轴 $x=a-1\geqslant 2$（用了 $a\geqslant 3$）， 所以 $h$ 在 $(-\infty,\ a-1]$ 上递减，$(-\infty,1)$ 整个落在这个递减区间里。于是对一切 $x<1$，

$$h(x)>h(1)=1-(2a-2)+4a-4=2a-1\geqslant 5>0 .$$

这一段上 $g$ 严格大于 $f$，没有交点，也没有解。

合并两段：

$$\boxed{F(x)=g(x)\iff 2\leqslant x\leqslant 2a}$$

（端点处 $f=g$，值相同，等式成立，端点算进去。）

（Ⅰ）第三步：顺手写出 $F$ 的显式分段式

$$F(x)=\begin{cases}2|x-1|, & x<2\ \text{或}\ x>2a\\[2pt] x^{2}-2ax+4a-2, & 2\leqslant x\leqslant 2a\end{cases}$$

后面两问全靠它。

（Ⅱ）(i)：两段各求各的最小值

折线那一段 $\{x<2\}\cup\{x>2a\}$：这一段包含 $x=1$，而 $2|x-1|\geqslant 0$， 所以这一段上的最小值是 $F(1)=0$。

二次那一段 $[2,2a]$：$g$ 的对称轴 $x=a$ 落在区间内吗？ 由 $a\geqslant 3$ 得 $a\geqslant 2$ 且 $a\leqslant 2a$，落在里面。所以这一段的最小值是

$$g(a)=a^{2}-2a^{2}+4a-2=-a^{2}+4a-2 .$$

取两者较小：

$$m(a)=\min\{0,\ -a^{2}+4a-2\} .$$

分界由 $-a^{2}+4a-2=0$ 给出，即 $a^{2}-4a+2=0$，正根 $a=2+\sqrt2$（另一根 $2-\sqrt2<3$，落在 $a\geqslant 3$ 之外）。

$$\boxed{m(a)=\begin{cases}0, & 3\leqslant a\leqslant 2+\sqrt2\\[2pt] -a^{2}+4a-2, & a>2+\sqrt2\end{cases}}$$

（Ⅱ）(ii) 第一步：先确认 $[0,6]$ 被哪两段切开

$a\geqslant 3\Rightarrow 2a\geqslant 6$，所以 $[2,6]\subseteq[2,2a]$。于是在 $[0,6]$ 上

$$F(x)=\begin{cases}2|x-1|, & 0\leqslant x<2\\[2pt] x^{2}-2ax+4a-2, & 2\leqslant x\leqslant 6\end{cases}$$

这一步是本解法的命门：$2a\geqslant 6$ 不成立的话，$[0,6]$ 里就还要塞进第三段， 用错解析式必然算错。$a\geqslant 3$ 正是为此而给。

（Ⅱ）(ii) 第二步：两段各求各的最大值

$[0,2]$ 上（把 $x=2$ 也算进来，两支在此相等，值都是 $2$）： $2|x-1|$ 在 $[0,1]$ 递减、$[1,2]$ 递增，最大值在端点，

$$\max_{[0,2]}F=\max\{2\times 1,\ 2\times 1\}=2 .$$

$[2,6]$ 上：$F=g$，开口向上，最大值只能在端点，

$$\max_{[2,6]}F=\max\{g(2),\ g(6)\}=\max\{2,\ 34-8a\} .$$

（若 $a\geqslant 6$，$g$ 在 $[2,6]$ 上整段递减，最大值就是 $g(2)=2$； 此时 $34-8a\leqslant-14<2$，上式仍然给出 $2$，不必单列。）

（Ⅱ）(ii) 第三步：合并

两段的最大值分别是 $2$ 与 $\max\{2,\ 34-8a\}$，取大者仍是 $\max\{2,\ 34-8a\}$：

$$M(a)=\max\{2,\ 34-8a\} ,\qquad 34-8a\geqslant 2\iff a\leqslant 4 .$$ $$\boxed{M(a)=\begin{cases}34-8a, & 3\leqslant a\leqslant 4\\[2pt] 2, & a>4\end{cases}}$$

两条路怎么选

真正的分水岭是第（Ⅱ）(ii) 要不要放缩。 解法一的写法短，但 $F\leqslant f\leqslant 2$ 只是个上界， 不补一句 $F(2)=2$，这一问最多给一半分； 解法二把 $F$ 的分段式老老实实写出来，后面就是最普通的二次函数在闭区间上的最值， 不会出现「上界够不着」的问题，代价是第（Ⅰ）问结束后要多写两行。

至于第（Ⅱ）(i)，两条路的差别只是包装：$F$ 的全局最小值等于两支最小值中较小的那个， 这条捷径对任何 $\min$ 型函数都成立，值得单独记住。