浙江 2016 · 数学 q18

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2016 · 数学 q18 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 官方解析）

题面

18．（15分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F(x)=min{2∣x−1∣,x2−2ax+4a−2}F ( x ) = \mathrm{m i n} \{2 | x - 1 | , x^{2} - 2 \mathrm{a x} + 4 a - 2 \}，其中 min（p，q）−∫0∞pζ=q- \int \limits_{0}^{\infty} p^{\zeta} = q

（Ⅰ）求使得等式F(x)=x2−2ax+4a−2\mathrm{F} \left( x \right) = x^{2} - 2 a x + 4 a - 2成立的x的取值范围

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）

（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

解析

分析

（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x>1x > 1，去掉绝对值，化简x2−2ax+4a−2−2∣x−1∣x^{2} - 2 a x + 4 a - 2 - 2 | x - 1 |，判断符号，即可得到F(x)=x2−2ax+4a−2\mathrm{F} \left( x \right) = x^{2} - 2 a x + 4 a - 2成立的x的取值范围；

（Ⅱ）（i）设f(x)=2∣x−1∣,g(x)=x2−2ax+4a−2\mathrm{f} \left( x \right) = 2 | x - 1 | , \mathrm{g} \left( x \right) = x^{2} - 2 a x + 4 a - 2，求得f（x）和g(x){g}^{\mathrm{( x )}}的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；

（ii）分别对当0≤x≤2{0}{\le} x {\le} 2时，当2<x≤62 < x \leq 6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

解答

解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，

x2−2ax+4a−2−2∣x−1∣=x2+2(a−1)(2−x)>0;\mathrm{x}^{2} - 2 \mathrm{ax} + 4 \mathrm{a} - 2 - 2 | \mathrm{x} - 1 | = \mathrm{x}^{2} + 2 (\mathrm{a} - 1) (2 - \mathrm{x}) > 0;

当x>1x > 1时，x2−2ax+4a−2−2∣x−1∣=x2−β(2+2a) x+4a= (x−2β) (x−2β)x^{2} - 2 a x + 4 a - 2 - 2 | x - 1 | = x^{2} - {\beta} ( 2 + 2 a ) \ x + 4 a = \ ( x - 2 {\beta} ) \ ( x - 2 \beta )

则等式F(x)=x2−2ax+4a−2( x ) = x^{2} - 2 a x + 4 a - 2成立的x的取值范围是（2，2a）；

（Ⅱ）（i）设f(x)=2∣x−1∣{{\mathrm{f} \left( {{x}} \right) = 2 \left| {{x}} - 1 \right|}}，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，

∣f(x)min⁡=f(1)=0,g(x)min⁡=g(a)=−a2+4a−2.\mid f (x)_{\min} = f (1) = 0, g (x)_{\min} = g (a) = - a^{2} + 4 a - 2.

由− a2+4a−2=0- \mathrm{\ a}^{2} + 4 \mathrm{a} - 2 = 0，解得a=2+2a = 2 + {\sqrt{2}}（负的舍去），

由F（x）的定义可得m(a)=min{f(1),g(a) }\left. \begin{array}{c}{\mathrm{m} \left( a \right) = \mathrm{m i n} \{f ( 1 ) , g \left( a \right) \ \}} \end{array} \right.

即m(a)={0,3⩽a⩽2+2−a2+4a−2,a>2+2}m ( a ) = \left\{\begin{array}{l l}{0 ,} & {3 \leqslant a \leqslant 2 + \sqrt{2}} \\ {- a^{2} + 4 a - 2 ,} & {a > 2 + \sqrt{2}} \end{array} \right\}

（ii）当0≤x≤2{0}{\leq} x {\leq} 2时，F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2) }=2=F(2){\mathrm{F}} \left( {\mathrm{x}} \right) {\mathrm{\le f}} \left( {\mathrm{x}} \right) {\mathrm{\le m a x}} \big \{{\mathrm{f}} \left( {\mathrm{0}} \right) , {\mathrm{f}} \left( {\mathrm{2}} \right) \ \big \}{\mathrm{=}}{\mathrm{2 =}}{\mathrm{F}} \left( {\mathrm{2}} \right)；

当2<x≤62 < x \leq 6时，∣F(x)≤g(x)≤max⁡{g(2),g(6)}{\begin{array}{l}{{| \begin{array}{l}{{\mathrm{F}} ( {\mathrm{x}} ) \leq{\mathrm{g}} ( {\mathrm{x}} ) \leq \operatorname* {m a x} \{{\mathrm{g}} ( 2 ) , \mathrm{g} ( 6 )} \end{array}}} \end{array} \}}

=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}

则M(a)={34−8aˉ,3⩽aˉaˉ}aˉM ( a ) = \left\{{3 4 - 8 \bar{a} , 3 \leqslant_{\bar{a}} \bar{a}} \right\}_{\bar{a}}