浙江 2014 · 数学 q22

冷启动：绝对值把一条三次曲线折成 V 形

$f(x)=x^{3}+3|x-a|$，区间永远是 $[-1,1]$，只有参数 $a$ 在跑。绝对值一拆，$f$ 只有两副面孔：

$$f(x)=\begin{cases}x^{3}+3x-3a, & x\geq a,\\[2pt] x^{3}-3x+3a, & x<a.\end{cases}$$

关键不在「分段」，在这两支在 $[-1,1]$ 上的单调性一个恒增、一个恒减：

• $x^{3}+3x-3a$：$f'=3x^{2}+3>0$，处处递增；
• $x^{3}-3x+3a$：$f'=3x^{2}-3<0$（$|x|<1$），在 $[-1,1]$ 上处处递减。

而 $x<a$ 走的是减的那一支、$x>a$ 走的是增的那一支。于是在 $[-1,1]$ 上

$$f\ \text{先减后增，谷底在}\ x=a .$$

是一条 V 形。 三句话就把第一问定死：

• 最小值在谷底。 $a$ 落在区间内时 $m(a)=f(a)=a^{3}$；$a$ 掉到区间外，谷底被截到最近的那个端点。
• 最大值一定在两个端点里。 $M(a)=\max\{f(-1),\,f(1)\}$——V 形函数的最大值不可能出现在内部。
• 于是 $M(a)-m(a)$ 就是「两个端点里高的那个」减「谷底」。

两个端点值算出来备用（后面每一条路都要用）：

$$f(1)=1+3|1-a|,\qquad f(-1)=-1+3|1+a| .$$

第二问的 $[f(x)+b]^{2}\leq 4$ 就是

$$-2\leq f(x)+b\leq 2\qquad(x\in[-1,1]),$$

也就是把整条曲线上下平移 $b$，要它整个塞进一条宽 $4$ 的水平带子里。这一句话把两问接上了：第一问求的 $M(a)-m(a)$ 是曲线自己的高低落差，落差超过带宽 $4$，怎么平移都塞不进去。所以 (I) 不是热身，是 (II) 的钥匙。

解法一：分段求导，四段讨论

怎么想到的。 最老实的一条：按 $x$ 与 $a$ 的大小把绝对值拆开，对每一支求导定单调，再按 $a$ 与两个端点 $-1$、$1$ 的相对位置分段。

$$f'(x)=\begin{cases}3x^{2}+3, & x\geq a,\\[2pt] 3x^{2}-3, & x<a,\end{cases}\qquad -1\leq x\leq 1 .$$

（I） 三段。

(i) $a\leq -1$。 区间上处处 $x\geq a$，$f(x)=x^{3}+3x-3a$ 单增，最值全在端点：

$$M(a)=f(1)=4-3a,\quad m(a)=f(-1)=-4-3a,\quad M(a)-m(a)=8 .$$

(ii) $-1<a<1$。 谷底 $x=a$ 落在区间内，$m(a)=f(a)=a^{3}$；最大值在两端里挑。 $f(1)=4-3a$、$f(-1)=2+3a$，作差定谁高（不是看图）：

$$f(1)-f(-1)=(4-3a)-(2+3a)=2-6a .$$

• $-1<a\leq\frac13$：$f(1)\geq f(-1)$，$M(a)=4-3a$，$M(a)-m(a)=-a^{3}-3a+4$；
• $\frac13<a<1$：$f(-1)>f(1)$，$M(a)=2+3a$，$M(a)-m(a)=-a^{3}+3a+2$。

(iii) $a\geq 1$。 区间上处处 $x\leq a$，$f(x)=x^{3}-3x+3a$ 单减：

$$M(a)=f(-1)=3a+2,\quad m(a)=f(1)=3a-2,\quad M(a)-m(a)=4 .$$

综上

$$M(a)-m(a)=\begin{cases} 8, & a\leq -1,\\[2pt] -a^{3}-3a+4, & -1<a\leq \frac{1}{3},\\[2pt] -a^{3}+3a+2, & \frac{1}{3}<a<1,\\[2pt] 4, & a\geq 1 . \end{cases}$$

（II） 记 $h(x)=f(x)+b$。$h$ 与 $f$ 只差一个常数，单调性、最值点全都一样，所以直接沿用上面四段，逐段解不等式组 $m(a)+b\geq -2$ 且 $M(a)+b\leq 2$。

(i) $a\leq-1$：无解。 $-4-3a+b\geq-2$ 给 $b-3a\geq 2$，$4-3a+b\leq 2$ 给 $b-3a\leq -2$，矛盾。

(ii) $-1<a\leq\frac13$： $a^{3}+b\geq-2$ 且 $4-3a+b\leq 2$，即 $-2-a^{3}\leq b\leq -2+3a$。两边同加 $3a$：

$$3a-a^{3}-2\ \leq\ 3a+b\ \leq\ 6a-2 .$$

这个区间非空才有解：$3a-a^{3}-2\leq 6a-2\iff a^{3}+3a\geq 0\iff a(a^{2}+3)\geq 0\iff a\geq 0$。所以这一段只剩 $0\leq a\leq\frac13$。

到这里要小心：上下界都还带着 $a$，答案不是把 $a$ 的端点代进去了事，是对 $a\in[0,\frac13]$ 取并。 记 $t(a)=3a-a^{3}-2$，$t'(a)=3-3a^{2}>0$，$t$ 递增，$t(0)=-2$、$t\!\left(\frac13\right)=-\frac{28}{27}$；上界 $6a-2$ 也递增，从 $-2$ 到 $0$。取并的结果恰是 $[-2,0]$——给定 $v\in[-2,0]$，取 $a=\frac{v+2}{6}\in\left[0,\frac13\right]$ 就有 $6a-2=v$，而 $t(a)\leq v$ 正是刚才那个 $a\geq0$。

(iii) $\frac13<a<1$： $a^{3}+b\geq-2$ 且 $3a+b+2\leq 2$，即

$$3a-a^{3}-2\ \leq\ 3a+b\ \leq\ 0 .$$

$t$ 在 $\left(\frac13,1\right)$ 上从 $-\frac{28}{27}$ 增到 $0$，取并得 $\left(-\frac{28}{27},\,0\right]$。

(iv) $a\geq1$： $3a+b-2\geq-2$ 给 $3a+b\geq 0$，$3a+b+2\leq 2$ 给 $3a+b\leq 0$，故 $3a+b=0$。

四段取并：

$$\varnothing\ \cup\ [-2,0]\ \cup\ \left(-\tfrac{28}{27},0\right]\ \cup\ \{0\}=[-2,\,0].$$

解法二：不求导——$f$ 是两条三次曲线的上包络，V 形，谷底在 $x=a$

怎么想到的。 $|u|=\max\{u,-u\}$，把它套进 $f$：

$$f(x)=x^{3}+3\max\{x-a,\ a-x\}=\max\bigl\{\,g_{1}(x),\ g_{2}(x)\,\bigr\},\quad \begin{aligned} g_{1}(x)&=x^{3}+3x-3a,\\ g_{2}(x)&=x^{3}-3x+3a . \end{aligned}$$

$f$ 是两条三次曲线的上包络。 而这两条在 $[-1,1]$ 上的单调性是死的——一增一减，与 $a$ 无关（$a$ 只把它们上下平移）。一增一减的上包络必然先减后增，交接点就是 $g_{1}=g_{2}$ 的解，即 $x=a$。V 形这件事，是结构给的，不是算出来的。

单调性这一步连导数都不用：

• $g_{1}$ 递增：$x\mapsto x^{3}$ 与 $x\mapsto 3x$ 都是增函数，两个增函数之和还是增函数。

• $g_{2}$ 递减：取 $-1\leq x_{1}<x_{2}\leq 1$，

  $$g_{2}(x_{2})-g_{2}(x_{1})=(x_{2}-x_{1})\left(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-3\right),$$

  而 $x_{1}^{2}\leq 1$、$x_{2}^{2}\leq 1$、$x_{1}x_{2}\leq 1$，三者不能同时取等（同时取等要 $x_{1}=x_{2}=\pm1$，与 $x_{1}<x_{2}$ 冲突），故括号内 $<0$，整体 $<0$。

（I）于是拆成两次互不纠缠的比较。

比较一：谷底在哪。 把 $x=a$ 截到 $[-1,1]$ 里：

$$m(a)=\begin{cases}f(-1)=-4-3a, & a\leq -1,\\[2pt] a^{3}, & -1<a<1,\\[2pt] f(1)=3a-2, & a\geq 1.\end{cases}$$

比较二：哪个端点更高。 $M(a)=\max\{f(-1),f(1)\}$，作差：

两张表一拼就是 (I) 的四段答案，与解法一逐字相同。

这条路的价值在于它把两件事分开了：「$f$ 长什么形状」是恒真的（V 形，上包络），「$a$ 在哪」只决定谷底的位置和两端谁高。第二问只需要 $M$、$m$ 这两个数——接解法三。

解法三：把 (II) 框架化——$b$ 存在当且仅当 $M(a)-m(a)\leq 4$

怎么想到的。 $b$ 只是把曲线上下搬，形状一点不改。所以「塞进宽 $4$ 的带子」这件事天然分成两层：曲线自己的落差够不够小（与 $b$ 无关），以及搬到什么位置。

$$-2\leq f(x)+b\leq 2\ \text{在}\ [-1,1]\ \text{上恒成立} \iff m(a)+b\geq -2\ \text{且}\ M(a)+b\leq 2 \iff -2-m(a)\leq b\leq 2-M(a).$$

这个 $b$ 的区间非空当且仅当 $-2-m(a)\leq 2-M(a)$，即

$$M(a)-m(a)\leq 4 .$$

第一层完全不含 $b$，(I) 的四段结果直接拿来筛 $a$：

四段压成一句话：可行的 $a$ 恰好是 $a\geq 0$。（$a\geq1$ 那一段 $M-m=4$ 正好等于带宽，$b$ 的区间退化成一个点——带子卡死，$b$ 没有余地，这解释了为什么那一段的答案是 $3a+b=0$ 一个数。）

目标 $3a+b$ 的范围就是把 $b$ 的区间整体加 $3a$：

$$3a+b\ \in\ \bigl[\,3a-2-m(a),\ \ 3a+2-M(a)\,\bigr].$$

两个端点各自化简（以下都在 $a\geq0$ 下）：

• 上端：$3a+2-M(a)=3a+2-\max\{4-3a,\ 2+3a\}=\min\{6a-2,\ 0\}$。它永远 $\leq 0$，且 $a\geq\frac13$ 时就等于 $0$。
• 下端：$0\leq a<1$ 时 $m=a^{3}$，下端 $=3a-a^{3}-2=a(3-a^{2})-2$，而 $0\leq a<1$ 时 $a(3-a^{2})\geq 0$，故下端永远 $\geq -2$；$a\geq1$ 时 $m=3a-2$，下端 $=0$。

两个界一起：$-2\leq 3a+b\leq 0$，且 $-2$ 在 $a=0$、$0$ 在 $a\geq\frac13$ 处分别取到。中间的值由解法四的构造补齐。

解法四：两个界各证一次，再对每个值显式造出 $(a,b)$

怎么想到的。 「求取值范围」是两件事：范围外的取不到（必要性）与范围内的每一个都取得到（充分性）。前三条路做的都是必要性，而且都要先把 $a$ 分段。这一条把两件事拆开，必要性那一半几乎不用 (I) 的结果。

上界 $3a+b\leq 0$——只用一个点。 恒成立当然包含 $x=-1$，于是 $f(-1)+b\leq 2$。而 $a\geq-1$ 时 $|1+a|=1+a$，

$$f(-1)=-1+3(1+a)=2+3a\ \Longrightarrow\ 2+3a+b\leq 2\ \Longrightarrow\ 3a+b\leq 0 .$$

至于 $a<-1$：那时区间上处处 $x>a$，$f$ 单增，$f(1)-f(-1)=8$，而 $f(x)+b$ 的取值必须全落在长为 $4$ 的区间 $[-2,2]$ 里，$8>4$，无解。所以上界这一半只动用了端点 $x=-1$ 的一个不等式。

下界 $3a+b\geq -2$。 先排掉 $-1\leq a<0$（左端取闭，$a=-1$ 必须在里面——上界那一半排掉的是 $a<-1$，$a=-1$ 若不在这里就成了漏网之鱼）：这一段里 $a$ 仍落在区间内，$x=a$ 给 $a^{3}+b\geq -2$，$x=1$ 给 $4-3a+b\leq 2$，两式要能同时成立就得 $3a-a^{3}-2\leq 6a-2$，即 $a^{3}+3a\geq 0$，即 $a\geq 0$——与 $a<0$ 矛盾。（$a=-1$ 处看得最直白：$-1+b\geq -2$ 要 $b\geq -1$，而 $7+b\leq 2$ 要 $b\leq -5$，直接打架。）于是必有 $a\geq 0$，分两段：

• $0\leq a<1$：$x=a$ 给 $b\geq -2-a^{3}$，故 $3a+b\geq 3a-a^{3}-2=a(3-a^{2})-2\geq -2$；
• $a\geq 1$：$x=1$ 给 $f(1)+b=3a-2+b\geq -2$，故 $3a+b\geq 0>-2$。

每个值都取得到。 给定 $v\in[-2,0]$，取

$$a=\frac{v+2}{6}\in\left[0,\tfrac13\right],\qquad b=v-3a .$$

此时 $m(a)=a^{3}$、$M(a)=f(1)=4-3a$（因为 $a\leq\frac13$），逐条验：

• 上：$M(a)+b=4-3a+v-3a=4-6a+v=4-(v+2)+v=2\leq 2$，恰好卡在上沿；
• 下：$m(a)+b=a^{3}+v-3a\geq -2\iff a^{3}-3a+v\geq -2\iff a^{3}+3a\geq 0$（用 $v=6a-2$），$a\geq0$ 时成立。

而 $3a+b=v$。两件事都做完，取值范围就是 $[-2,0]$，一个不多一个不少。

四条路怎么选

四条路卡的地方各不相同：解法一要熬完四段不等式组并且记得取并；解法二要把「一增一减的上包络必是 V 形」说清楚；解法三要说明 $b$ 的区间何时非空；解法四要真的造出那组 $(a,b)$。

一句话带走

• 见到 $x^{3}+3|x-a|$ 这种「三次 $+$ 绝对值」，先写成两支取大：$\max\{x^{3}+3x-3a,\ x^{3}-3x+3a\}$。 在 $[-1,1]$ 上一支恒增、一支恒减，上包络必是 V 形，谷底在 $x=a$——形状与 $a$ 无关，$a$ 只挪谷底。
• V 形函数的最大值一定在端点，最小值一定在谷底。两个端点谁高，靠作差 $f(1)-f(-1)=2-6a$ 定，不靠看图。
• $[f+b]^{2}\leq 4$ 就是「塞进宽 $4$ 的带子」。先看极差、再定平移：$M-m\leq 4$ 这一层完全不含 $b$， 在这道题里它把 $a$ 一句话筛成 $a\geq 0$，比四段讨论快得多。
• 最后一步最容易丢分：$b$ 的界里还带着 $a$，答案是对 $a$ 取并，不是把 $a$ 的端点代进去。 取完并还要回头造一组 $(a,b)$ 说明端点真取得到——「求取值范围」永远是必要性加充分性两件事。