浙江 2014 · 数学 q22

题面

22.（本题满分14分）

已知函数 $f(x) = x^3 + 3|x - a|(a \in R)$.

(I) 若 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值和最小值分别记为 $M(a), m(a)$，求 $M(a) - m(a)$;

(II) 设 $b \in R$, 若 $\left[f(x) + b\right]^2 \leq 4$ 对 $x \in[-1,1]$ 恒成立, 求 $3a + b$ 的取值范围.

解析

：（I）∵ $f(x)=x^{3}+3\mid x-a\mid=\begin{cases}x^{3}+3x-3a,&x\geq a\\x^{3}-3x+3a,&x<a\end{cases}$

$\therefore f'(x) = \left\{\begin{array}{l} 3x^2 + 3, x \geq a \\ 3x^2 - 3, x < a \end{array} \right.$，由于 $-1 \leq x \leq 1$

(i) 当 $a \leq -1$ 时，有 $x \geq a$ ，故

$f (x) = x^{3} + 3 x - 3 a$

此时， $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是增函数，因此 $M(a)=f(1)=4-3a$ ， $m(a)=f(-1)=-4-3a$ ，

故 $M(a) - m(a) = (4 - 3a) - (-4 - 3a) = 8$

（ii）当 -1 < a < 1 时，若 $x \in (a, 1)$ ， $f(x) = x^{3} + 3x - 3a$ ，在（a，1）上是增函数；若 $x \in (-1, a)$ ， $f(x) = x^{3} - 3x - 3a$ ，在（-1，a）上是减函数，

$\therefore M (a) = \max \{f (1), f (- 1) \}, \quad m (a) = f (a) = \mathrm{a}^{3}$

由于 $f(1)-f(-1)=-6a+2$ ，因此

当 $-1 < a \leq \frac{1}{3}$ 时， $M(a) - m(a) = -a^{3} - 3a + 4$ ;

当 $\frac{1}{3}<a<1$ 时， $M(a)-m(a)=-a^{3}+3a+2$ ;

（iii）当 $a \geq 1$ 时，有 $x \leq a$ ，故 $f(x) = x^3 - 3x + 3a$

此时 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是减函数，

$M (a) = f (- 1) = 2 + 3 a, \quad m (a) = f (1) = - 2 + 3 a$

故 $M(a) - m(a) = 4$

综上，

$M(a) - m(a) = \left\{\begin{array}{ccc} & 8, & a \leq -1 \\ -a^3 - 3a + 4, & -1 < a \leq \frac{1}{3} \\ -a^3 + 3a + 2, & \frac{1}{3} < a < 1 \\ 4, & a \geq 1 \end{array} \right.$

（II）令 $h(x) = f(x) + b$，则 \mathrm{h}(x) = \begin{cases} x^3 + 3x - 3a + b, & x \geq a \\ x^3 - 3x + 3a + b, & x < a \end{cases}$$\mathrm{h}'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 3, & x \geq a \\ 3x^2 - 3, & x < a \end{cases},

因为 $[\mathrm{f}(\mathrm{x}) + \mathrm{b}]^2 \leq 4$ 对 $\mathrm{x} \in[-1, 1]$ 恒成立，

即 $-2 \leq h(x) \leq 2$ 对 $\mathrm{x} \in[-1, 1]$ 恒成立，

（i）当 $a \leq -1$ 时，$h(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是增函数，$h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值是 $h(1) = 4 - 3a + b$，最小值 $h(-1) = -4 - 3a + b$，则 $-4 - 3a + b \geq -2$ 且 $4 - 3a + b \leq 2$ 矛盾；

（ii）当 $-1 < a \leq \frac{1}{3}$ 时，$h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值是 $h(a) = a^3 + b$，最大值是 $h(1) = 4 - 3a + b$，所以 $a^3 + b \geq -2$ 且 $4 - 3a + b \leq 2$，从而

$- 2 - a^{3} + 3 a \leq 3 a + b \leq 6 a - 2$

$0 \leq a \leq \frac{1}{3}$

令 $t(a) = -2 - a^3 + 3a$，则 $t'(a) = 3 - 3a^2 > 0$，$\therefore t(a)$ 在 $(0, \frac{1}{3})$ 上是增函数，故 $t(a) > t(0) = -2$，因此 $2 < 3a + b < 0$

$- 2 \leq 3 a + b \leq 0$

（iii）当 $\frac{1}{3} < a < 1$ 时，$h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最小值是 $h(a) = a^3 + b$，最大值是 $h(-1) = 3a + b + 2$，所以由 $a^3 + b \geq -2$ 且 $3a + b + 2 \leq 2$，解得 $-\frac{28}{27} < 3a + b \leq 0$ (iv) 当 $a \geq 1$ 时，$h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值是 $h(-1) = 3a + b + 2$，最小值是 $h(1) = 3a + b - 2$，所以由 $3a + b - 2 \geq -2$ 且 $3a + b + 2 \leq 2$，解得 $3a + b = 0$。综上，$3a + b$ 的取值范围是 $2 \leq 3a + b < 0$。

$3 a + b$

$- 2 \leq 3 a + b \leq 0$