浙江 2011 · 数学 q01

冷启动：题问的是「谁被送进去，出来是 $4$」

题面给的是

$$f(x)=\begin{cases}-x, & x\leq 0,\\[2pt] x^{2}, & x>0,\end{cases} \qquad f(a)=4 ,\qquad a=?$$

四个选项：A．$-4$ 或 $-2$；B．$-4$ 或 $2$；C．$-2$ 或 $4$；D．$-2$ 或 $2$。

站上这道题的转写里，B、C、D 三项被 OCR 挤进了同一行（B、﹣4或2C、﹣2 或 4 D、﹣2 或 2）。 上面四项是照原卷扫描件拆回来的，同目录的 q01-fix.md 里也已经改正。

先把方向认清。 平时练的是「给 $x$ 求 $f(x)$」——代进去就完了；这道题反过来， 给函数值、求自变量。反着走会多出一件事：正着走时 $x$ 落在哪一段是已知的 （$x$ 是你自己给的），反着走时 $a$ 落在哪一段恰恰是不知道的， 而不知道 $a$ 在哪一段，就不知道该用哪条式子。

于是唯一的出路是把「$a$ 在哪一段」当成一个未知的分岔，两边都走一遍。 这句话就是整道题的全部内容——剩下的只是解两个一年级方程。

顺便记住一件事：反着走答案可能不止一个。 正着走每个 $x$ 只对应一个 $f(x)$， 反着走却可能有好几个 $a$ 都被送到同一个 $4$。所以看到某个选项只有一个数、 或者自己只解出一个数，都该先怀疑是不是漏了一段。这道题的答案正好是两个。

解法一：分段讨论——两段各解一次方程，解完回头验区间

题面把定义域切成了 $x\leq 0$ 与 $x>0$ 两块，$a$ 只可能落在其中一块里。 那就两块各当一次真，各解一次。

第一块，假设 $a\leq 0$。 这一块上 $f$ 的式子是 $-x$，于是

$$-a=4\ \Longrightarrow\ a=-4 .$$

解完先别急着写答案，回头问一句：$-4$ 真的满足当初那个假设吗？ $-4\leq 0$，满足。这一支留下。

第二块，假设 $a>0$。 这一块上 $f$ 的式子是 $x^{2}$，于是

$$a^{2}=4\ \Longrightarrow\ a=2\ \text{或}\ a=-2 .$$

同样回头验：$2>0$，满足，留下；$-2>0$ 不成立，扔掉。

为什么必须扔掉 $-2$。 不是因为「负数不好看」，而是因为 $a^{2}=4$ 这个方程 本来就只在 $a>0$ 那一块上成立——它是从「$f$ 在 $x>0$ 上等于 $x^{2}$」来的。 $-2$ 落在 $x\leq 0$ 那一块，$f(-2)$ 该用 $-x$ 算，等于 $2$，根本不是 $4$。 拿 $x^{2}$ 去算 $f(-2)$，就是把一条只在半边成立的式子用到了另外半边。

两块的结果并起来：

$$a=-4\quad\text{或}\quad a=2 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{B}}$$

这条路的纪律只有一句：每解出一个数，立刻拿它去撞当初那个假设。 撞不上就扔。这句话与「解完再看看合不合理」不是一回事—— 它是这条推理本身要求的：假设 $a\leq 0$ 推出的 $a$，只有在真的 $\leq 0$ 时才算数。

解法二：画图——一条水平线 $y=4$ 横切过去，交几次就有几个 $a$

不想讨论，就把 $f$ 画出来。方程 $f(a)=4$ 的解，就是曲线 $y=f(x)$ 与水平线 $y=4$ 交点的横坐标——问「有几个 $a$」就是问「交几次」。

这条曲线怎么画。 两段各画各的，只在自己的地盘上画：

• $x\leq 0$ 那一段是 $y=-x$。它是一条直线，但只留 $x\leq 0$ 的部分， 于是画出来是从原点向左上方伸出去的一条射线：越往左越高。
• $x>0$ 那一段是 $y=x^{2}$。同样只留右边，画出来是从原点向右上方翘起的一条弧。

两段在原点接上了（左段在 $x=0$ 处取 $0$，右段在 $x\to 0^{+}$ 时也趋于 $0$）， 所以整条曲线是连着的一个「V 形偏一边」的样子——最低点在原点，往两边都一路往上。

现在数交点。 画一条 $y=4$ 的水平线：

• 左边那条射线：沿着它从原点往左走，高度从 $0$ 一路涨到 $+\infty$，中途不回头， 所以高度 $4$ 只被够到一次，够到的地方是 $-x=4$ 即 $x=-4$；
• 右边那条弧：沿着它从原点往右走，高度同样从 $0$ 一路涨到 $+\infty$、中途不回头， 高度 $4$ 也只被够到一次，够到的地方是 $x^{2}=4$ 且 $x>0$，即 $x=2$。

两次，不多不少。 这就同时回答了两件事：$a$ 有两个（不是一个，也不是三个）， 以及它们分别是 $-4$ 与 $2$。选 B。

「中途不回头」这句话是这条路的支柱——正因为每一段在自己的地盘上都不折返， 每一段才至多被水平线穿一次。要是把 $x^{2}$ 那条式子放开、用到全体实数上， 它就会在 $x=-2$ 与 $x=2$ 处各够到一次 $4$，两个交点挤在同一条曲线上。 图里那条灰虚线画的正是「放开之后」的样子：它在 $(-2,4)$ 处穿过那条水平线。 但那条虚线不是这道题的 $f$——$f$ 在 $x\leq 0$ 上是 $-x$，不是 $x^{2}$。 所以 $(-2,4)$ 不是交点，$-2$ 也不是答案。

解法三：只算一个 $f(-2)$——三个错项共用它，一次代入全灭

这是选择题，可以反过来做：不去找 $a$，而是拿四个选项去撞题设。

先看四项都长什么样：

一眼就看得见的巧事：$-2$ 在 A、C、D 里都出现，只有 B 没有它。 于是只要算出 $f(-2)$ 到底是多少，三项一起有救没救就定了——一次代入抵三次。

算 $f(-2)$：先判段。$-2\leq 0$，落在左边那一段，用 $-x$：

$$f(-2)=-(-2)=2 .$$

$2\neq 4$。所以 $-2$ 不是方程的解，凡是含它的选项全不对——A、C、D 同时出局。 四项去掉三项，剩下的只能是 B。

再花十秒把 B 正着验一遍（排除法只说「答案在选项里的话只能是它」， 不说「它真的对」，所以正着验一次才算完整）：

$$f(-4)=-(-4)=4\ \checkmark,\qquad f(2)=2^{2}=4\ \checkmark .$$

两个都对，B 站得住。

顺带说一句这个 $-2$ 是怎么被出题人放进三个选项里的：它正是「解 $a^{2}=4$ 时 把 $-2$ 也留下来」这一步的产物。出题人把同一个错误摆了三遍， 就是等着一眼扫过去、看见 $\pm 2$ 觉得眼熟的人。

三个提醒

1. 解完必须回头验区间。 在「$a>0$」的假设下解出 $a=\pm 2$，能留下的只有 $2$。 这一步不是可选的检查，而是推理的一部分：那条 $a^{2}=4$ 只在 $a>0$ 时才是 $f(a)=4$。 写在纸上的形式是——每解出一个数，就在它后面画个括号写上「$\checkmark$ 合 $a>0$」或「$\times$ 舍」。

2. 别只解一段。 反着求自变量时，每一段都要解一次，哪怕某一段解出来是空的 （空也是结果，写一句「此段无解」）。只解自己顺手的那一段，最典型的后果就是答案少一个。 本题若只解右段，会得到「$a=2$」，四个选项里一个都对不上，那时才发现漏了反而算走运； 更常见的是漏掉之后恰好撞上某个错项。

3. 分界点归谁，照题面抄。 本题写的是 $x\leq 0$ 与 $x>0$——$0$ 归左段。 本题里 $0$ 归哪段都不影响答案（两段在 $0$ 处算出来都是 $0$，而我们要的是 $4$）， 但这个习惯要在这种便宜题上养成：换一道题（比如左段是 $x+1$、右段是 $x^{2}$）， $0$ 归错段答案就跟着错。抄不等号时把等号一起抄下来。