逐段求解再取并

解题套路

设 $f$ 在 $D_1,D_2,\dots$ 上分别由 $f_1,f_2,\dots$ 给出，要解 $P(f(x))$：

1. 逐段解：在第 $i$ 段里，把 $f$ 换成 $f_i$，解出 $S_i'=\{x\mid P(f_i(x))\}$；
2. 与该段定义域取交：$S_i=S_i'\cap D_i$。这一步最常被漏——在 $x\le1$ 那一段解出 $-1\le x\le3$，真正能用的只有 $[-1,1]$；
3. 取并：$S=\bigcup_i S_i$。

取并之后要看一眼形状

$S$ 是不是一整段，决定了后面能问什么：

• 是一整段（各段的结果在分界点处接上了）→ 「最长子区间」就是它本身；
• 断成几段 → 要问「最长子区间」就得取最长的那一段，不能跨过缺口。

判断接没接上，看分界点处两边的解集端点是否相邻：一边到 $x_0$（含）、另一边从 $x_0$ 起（不含 $x_0$ 但紧邻），并起来仍是一整段。

常见失手

• 漏取交：某段解出的范围跑到别的段的地盘上去了。
• 端点归属改了：分界点属于哪一段由题面定义决定（$x\le1$ 就是第一段），解的时候不能按方便改。
• 某一段无解就忘了写：无解也是结果，$S_i=\varnothing$，取并时自然不贡献——但心里要过一遍，别漏掉整段没解。