已知分段函数值反求自变量

题型说明

• 常见问法：「已知 $f(x)=\begin{cases}\dots\end{cases}$，若 $f(a)=c$，则 $a=$ ____。」 选择题里四个选项常常只差一两个数——差的那个数多半就是漏验区间捡来的。
• 它与「求值」是反方向的同一件事：求值时 $x$ 是你给的，落在哪一段一眼可知； 反求时 $a$ 落在哪一段是未知的，而不知道在哪一段就不知道该用哪条式子。 于是「哪一段」必须当成一个分岔，两边（或多边）都走一遍。

三步

1. 逐段假设：假设 $a$ 落在第 $i$ 段，把 $f$ 换成该段的式子 $f_i$，解方程 $f_i(a)=c$。
2. 与该段区间取交：解出来的每一个数，都要回头撞一次「第 $i$ 段」那个条件。 撞不上就扔——那个数满足的是 $f_i(a)=c$，不是 $f(a)=c$。
3. 取并：各段留下来的合起来就是全部答案。某段无解也要写一句「此段无解」， 免得跳过之后自己也说不清是解过还是忘了。

答案有几个，事先不知道

正着走时一个 $x$ 只出一个 $f(x)$；反着走时同一个 $c$ 可能被好几个 $a$ 送到， 也可能一个都没有。解出几个就是几个，不要因为「填空只有一个空」就只留一个。 反过来，若某一段本身单调（一路只升或只降），那一段至多贡献一个解—— 这条能用来核对个数：段数就是解数的上界。

常见陷阱

• 越界：在 $x>0$ 那一段解出 $\pm 2$，把 $-2$ 也留下了。
• 只解一段：只用了自己顺手的那条式子，答案少一个。
• 分界点归错段：$x\leq 0$ 与 $x<0$ 差一个等号，端点归属由题面定，照抄别改。
• 代回时又忘了判段：验算 $f(a)=c$ 时，也要先看 $a$ 在哪一段，别拿另一段的式子验。