分段函数导数值的唯一配对求参数

题型说明

• 常见问法：「设 $q(x)=\begin{cases}g(x),&x\geqslant0\\ f(x),&x<0\end{cases}$，是否存在 $k$，对任意给定的 非零实数 $x_{1}$，存在惟一的非零实数 $x_{2}$（$x_{2}\neq x_{1}$），使 $q'(x_{2})=q'(x_{1})$？」 多为压轴题的第 (Ⅱ) 问，$7$ 到 $8$ 分。
• 骨架是两条单调支：求导之后，$x>0$ 与 $x<0$ 各得一条严格单调的曲线，各自把自己那半条数轴 一一映到一个半开区间上。于是整句话只剩下两个区间之间的关系。

主线：三步

1. 求导，分别判两支的单调性。 一次函数看斜率，二次函数看对称轴落在哪一侧—— 对称轴若不在讨论的那一半里，这一支就是严格单调的。
2. 把「唯一」化掉。 一支上严格单调 $\Rightarrow$ 这一支上不可能有第二个点与 $x_{1}$ 同值， 所以 $x_{2}$ 只能在另一支上；而另一支也严格单调，所以只要它存在就自动唯一。 「唯一」这两个字在这里不增加条件，它只是把 $x_{2}$ 赶到对面去。
3. 把「任意 $\to$ 存在」化成值域的包含。 记两支的值域为 $A$、$B$： 「$\forall x_{1}>0$ 都配得上」就是 $A\subseteq B$，「$\forall x_{1}<0$ 都配得上」就是 $B\subseteq A$。 两句都要，于是 $A=B$。两个同向的半开区间相等，等价于两个开端点相等——参数由此解出。

这类题的三处关口

1. 两趟的方向是反的。 $x_{1}>0$ 那趟给的是 $A\subseteq B$，$x_{1}<0$ 那趟给的是 $B\subseteq A$。 把其中一趟的方向抄反，两式会同向，解出来的是一个区间而不是一个值——这是本型最常见的错法。
2. 参数取特殊值时某一支会退化。 例如 $g'(x)=2k^{2}x+k$ 在 $k=0$ 时变成常值函数 $0$： 这一支不再单调、更不是单射，任一 $x_{1}>0$ 都有无穷多个 $x_{2}$ 与它同值，「惟一」当场破产。 这种退化值必须在讨论之前单独剔掉。
3. 端点取不取得到，决定的是等号而不是范围。 两支的值域都是开的半直线（$x=0$ 处取不到）， 所以 $A=B$ 给的是两个端点相等；若有一侧是闭的，答案就会差一个端点。