导数为零就当成极值点

易错点

解出 $f'(x_{0})=0$ 就写「故 $f$ 在 $x_{0}$ 处取得极值」——少了一步。

$f'(x_{0})=0$ 的点叫驻点。驻点未必是极值点：

但 $y'\geqslant0$ 处处成立，函数一路递增，$x=0$ 处既不是极大也不是极小， 图象在那里只是平着穿过去。

反过来也要小心：极值点也未必是驻点。$y=|x|$ 在 $0$ 处取极小值，但那里不可导， $f'(x_{0})=0$ 这个必要条件的前提是「$f$ 在 $x_{0}$ 可导」。

所以完整的判定永远是两步：先找驻点（或不可导点），再看两侧符号。

反向的那一半也别漏

同一枚硬币的另一面：$f'(x_{0})\neq0$ 时，$x_{0}$ 一定不是极值点（$f$ 在 $x_{0}$ 可导的前提下）。 这一条在选择题里特别省事——只要算出导数在那点不为零，含该点的所有「取极值」选项当场全灭， 连是极大还是极小都不用分。

自检

写下「取得极值」四个字之前，问自己：

• 我验的是 $f'(x_{0})=0$，还是 $f'$ 在 $x_{0}$ 两侧异号？只有后者才是判定。
• 若 $f'$ 在 $x_{0}$ 附近可以因式分解成 $(x-x_{0})^{m}\varphi(x)$（$\varphi(x_{0})\neq0$）， 直接看 $m$ 的奇偶：偶次不变号（不是极值点），奇次变号（是极值点）。