乘积判单调漏验因子正负

错在哪

要把 $x_{0}$ 换成它的下界 $m$（$x_{0}\geqslant m$），常见写法是：

$u(x)$ 递增、$v(x)$ 递增，所以 $u(x)v(x)$ 递增，于是 $u(x_{0})v(x_{0})\geqslant u(m)v(m)$。

这一步不一定成立。取 $u(x)=x$、$v(x)=x$，两个都在 $\mathbf{R}$ 上递增，可 $uv=x^{2}$ 在 $(-\infty,0)$ 上是递减的。再取 $u(x)=x$、$v(x)=x-10$，在 $[0,5]$ 上两个都递增，乘积 $x^{2}-10x$ 却一路在降。

真正成立的是加了正性的那条：

理由一句话：$u_{2}v_{2}-u_{1}v_{1}=u_{2}(v_{2}-v_{1})+v_{1}(u_{2}-u_{1})$，两项都要靠 $u_{2}\geqslant0$、$v_{1}\geqslant0$ 才非负。正性不是补充说明，是这条推理的承重墙。

怎么避免

用「乘积递增」之前，把这三样逐一写出来：

1. 区间是哪一段（$[m,+\infty)$ 还是 $[m,x_{0}]$）；
2. 两个因子在这一段上都递增；
3. 两个因子在这一段的左端点处都 $\geqslant0$——递增 + 左端点非负，整段就非负，这是最省事的验法。

第 3 条常常是要单独证的一小步。例如 $g(x)=x\cdot f(x+a)$ 里 $f(x+a)$ 在 $x=m$ 处是不是非负，得回到 $f$ 自己的零点位置去判：$f$ 递增且 $f(x_{0})=0$，那么 $f(m+a)\geqslant0$ 等价于 $m+a\geqslant x_{0}$——这句话要写出来，不能默认。

相邻的两个坑

• 因子有正有负时结论会反向：一正一负且都递增，乘积的单调性没有定论，必须分段讨论或换个变形。
• 只验了一个因子非负：另一个因子的正性同样在承重（上面那个恒等式两项各要一个）。少验一个和一个都没验，风险是一样的。