易错点

参变分离时定义域还含着参数

「对任意 x∈Dx\in D 恒成立」里的 DD 如果自己就带着参数（x∈(0,3a]x\in(0,3a]、x∈[a,a+1]x\in[a,a+1]），把参数从不等式里分离出来之后**并没有分离干净**——另一半还留在区间端点上，于是取最值那一步得到的是关于参数的隐式不等式，不能当成「a≥a\geq 某个常数」直接读。

坑在哪

恒成立问题的标准动作是：把不等式解成 φ(x)≤a≤ψ(x)\varphi(x)\leq a\leq\psi(x)，再取

a≥max⁡x∈Dφ(x),a≤min⁡x∈Dψ(x).a\geq\max_{x\in D}\varphi(x),\qquad a\leq\min_{x\in D}\psi(x) .

这一步默认了一件事：DD 与 aa 无关，所以 max⁡φ\max\varphi 是一个常数。 可题目常把区间也写成含参的，比如 x∈(0,3a]x\in(0,3a]、x∈[a,a+1]x\in[a,a+1]、x∈[1,2a]x\in[1,2a]。 这时 max⁡x∈Dφ\max_{x\in D}\varphi 的取值点自己就带着 aa，算出来的是 φ(3a)\varphi(3a) 这样的含参表达式， 于是「a≥max⁡φa\geq\max\varphi」是一条 aa 在两边都出现的不等式——

a≥3a−2eln⁡3a,a\geq 3a-\frac{2e}{\sqrt{\ln 3a}} ,

要再整理一次才有意义（这一条整理完是 a2ln⁡3a≤e2a^{2}\ln 3a\leq e^{2}）。 把它当成「a≥a\geq 常数」抄下来，等号两边的 aa 就被当成了两个不同的字母。

三种常见长相

区间端点上的参数整理后的样子
x∈(0,3a]x\in(0,3a]右端点是 3a3a关于 aa 的超越不等式，多半没有闭式解
x∈[a,a+1]x\in[a,a+1]两端都动要按区间与函数关键点的相对位置分档
x∈[1,2a]x\in[1,2a]右端点动，还要先判区间非空先解 2a≥12a\geq1，再在每一档里取最值

怎么防

  1. 先问一句「区间动不动」。写下 DD 的那一刻就标出来：端点里有没有参数？
  2. 区间非空是第一道门。x∈(0,3a]x\in(0,3a] 要 a>0a>0，x∈[1,2a]x\in[1,2a] 要 a≥12a\geq\frac12； 区间为空时条件是空真，这一档要么单独交代，要么按题意排除。
  3. 端点含参时，最值点也含参。照样求 max⁡φ\max\varphi，但要把结果写成 φ(端点)\varphi(\text{端点}) 的样子， 然后当成一条关于参数的不等式去解，而不是一个数。
  4. 解完回代。把求出的参数代回原区间，确认区间非空、且最值点确实落在区间里。

反向自查

拿到「a≥a\geq 某某」之后，看一眼右边还有没有 aa。 有，就说明分离没做完，必须继续整理；没有，再确认 DD 里也确实没有 aa—— 两处都干净，这一步才算走对。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。