放缩证不等式

解题套路

要证 $A>c$：

1. 定方向：目标是「$A$ 够大」，所以每一步只能把 $A$ 往小放（$A>B_1>B_2>\dots$）；要证 $A<c$ 则反过来，只能往大放。方向一旦混用，链条就断了。

2. 挑放缩点：分式里最常用的两招——

   • 分子变小：$\dfrac{N}{M}>\dfrac{N'}{M}$（$N>N'>0$）；
   • 分母变大：$\dfrac{N}{M}>\dfrac{N}{M'}$（$M'>M>0$）。

   两招可以同时用：$\dfrac{N}{M}>\dfrac{N'}{M'}$（$N>N'>0$，$M'>M>0$）。

3. 放到能算出准数：放缩的落点应当是一个能约干净的式子（完全平方、可整体约掉的因式），最后算出来恰好是 $c$。

4. 回头查严格性：链条里只要有一步是严格的 >，整条就是严格的；若每一步都只是 ≥，结论只能写 ≥。

怎么知道该往哪儿放

先看目标 $c$ 长什么样，再倒推放缩点。 要证的界是 $\dfrac18$、$\dfrac12$ 这类干净的数，说明放缩之后应当出现能整体约掉的结构——于是就去凑「分子成完全平方」「分母成同一个平方的两倍」这类形状。放缩不是盲试，是朝着目标里那个数去配。

注意

• 放过头就废了：把 $A$ 放小到 $B$ 之后若 $B<c$，这一步白做（甚至会误判结论不成立），要退回来换一个更保守的放法。
• 分母变大的前提是分母同号（通常都要先说明为正）。
• 数列求和的放缩（$\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{k(k-1)}$ 这类）常常前几项不能放，需要单独留出来直接算——放缩的适用范围要写清楚。

用在本题

2024 年新课标Ⅰ卷第 19 题（3）：已经数出 $P_m\ge\dfrac{m^2+m+1}{(2m+1)(4m+1)}$，要证它 $>\dfrac18$。目标是 $\dfrac18$，于是朝「分母凑成 $2(2m+1)^2$、分子凑成 $\left(m+\frac12\right)^2$」去放——分子把 $1$ 缩成 $\dfrac14$、分母把 $4m+1$ 放成 $4m+2$，两步都朝同一个方向：