浙江 2009 · 数学 q10

冷启动：那句定义，除一下就变成了「斜率」

题面给的定义是：对正实数 $\alpha$，

$$f\in M_{\alpha} \iff \forall\,x_{1},x_{2}\in\mathbf{R},\ x_{2}>x_{1}:\quad -\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right)<f(x_{2})-f(x_{1})<\alpha\left(x_{2}-x_{1}\right).$$

这句话看着陌生，是因为它把三样东西挤在了一行。把它整条除以 $x_{2}-x_{1}$（题面给了 $x_{2}>x_{1}$，所以这是个正数，不等号方向不变）：

$$-\alpha<\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}<\alpha .$$

中间那一坨是过图象上两点 $\left(x_{1},f(x_{1})\right)$、$\left(x_{2},f(x_{2})\right)$ 的割线斜率。记它为 $k$，于是

$$\boxed{\ f\in M_{\alpha}\iff \text{图象上任意两点连线的斜率 }k\text{ 都满足 }-\alpha<k<\alpha\ }$$

几何上：从图象上任何一点看出去，整条图象都被夹在以该点为顶点、斜率 $\pm\alpha$ 的那个「喇叭」里；$\alpha$ 越大，喇叭张得越开。

一台现成的造例子机器：一次函数 $px+u$ 的割线斜率恒等于 $p$（跟取哪两点无关），所以

$$px+u\in M_{\alpha}\iff |p|<\alpha .$$

常值函数（$p=0$）属于每一个 $M_{\alpha}$——$\alpha$ 是正实数，$0$ 总在 $(-\alpha,\alpha)$ 里。这条后面要反复用。

四个选项问的是同一件事：把两个函数合起来之后，新函数的割线斜率被压进多宽的范围。于是全题的重心变成一句话——哪种运算会把「斜率的范围」老老实实搬过去。

解法一：把定义整体除以 $x_{2}-x_{1}$——$M_{\alpha}$ 就是一句关于割线斜率的话

① 统一记号。 固定一对 $x_{1}<x_{2}$，记

$$k_{f}=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}},\qquad k_{g}=\frac{g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} .$$

由冷启动那一步，题设就是：对每一对 $x_{1}<x_{2}$ 都有 $-\alpha_{1}<k_{f}<\alpha_{1}$ 与 $-\alpha_{2}<k_{g}<\alpha_{2}$。

② 加法把斜率原样搬过去。 这是全题唯一真正用到的等式：

$$\frac{\left(f+g\right)(x_{2})-\left(f+g\right)(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} =\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}+\frac{g(x_{2})-g(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} =k_{f}+k_{g} .$$

它成立是因为分子可以直接拆开、分母是同一个数——和的差商等于差商的和。

③ 两个范围相加。 由 ① 的两条，逐项相加：

$$-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)<k_{f}+k_{g}<\alpha_{1}+\alpha_{2} .$$

这对每一对 $x_{1}<x_{2}$ 都成立（①、② 两步都没挑 $x_{1}$、$x_{2}$），把它乘回 $x_{2}-x_{1}>0$，正是 $f+g\in M_{\alpha_{1}+\alpha_{2}}$ 的定义。C 成立。 单选题到这里已经可以落笔。

④ 顺手看清 D 为什么不行。 减法的差商同样搬得过去：$k_{f-g}=k_{f}-k_{g}$。但 $k_{g}$ 的范围 $\left(-\alpha_{2},\alpha_{2}\right)$ 关于原点对称，取相反数之后还是它自己：

$$-\alpha_{2}<k_{g}<\alpha_{2} \ \Longrightarrow\ -\alpha_{2}<-k_{g}<\alpha_{2} \ \Longrightarrow\ -\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)<k_{f}-k_{g}<\alpha_{1}+\alpha_{2} .$$

减法给出的界和加法一模一样，都是 $\alpha_{1}+\alpha_{2}$，而 D 要的 $\alpha_{1}-\alpha_{2}$ 比它窄得多。题面特意加的那句 $\alpha_{1}>\alpha_{2}$ 只是让 $\alpha_{1}-\alpha_{2}$ 看上去像个合法的正数，并不能让它成立。

⑤ A、B 连「搬」这一步都做不成。 乘法、除法的差商与 $k_{f}$、$k_{g}$ 之间根本没有这种加减关系（具体是什么关系，解法三 ④ 写了出来）。所以这条路对 A、B 只能说「机制不成立」，要坐实它们错，得给反例——那是解法二的事。

选 C。

解法二：三个错的各给一个一次函数当场打掉——常值函数最好用

单选题的另一条路：不去证谁对，而是把错的挨个打掉。工具只有冷启动里那一句——一次函数 $px+u$ 的割线斜率恒为 $p$，故 $px+u\in M_{\alpha}\iff|p|<\alpha$。

① 打 A（乘法）。 取 $f(x)=g(x)=x$，割线斜率恒为 $1$，故 $f,g\in M_{2}$，即 $\alpha_{1}=\alpha_{2}=2$，A 许诺 $f\cdot g\in M_{\alpha_{1}\alpha_{2}}=M_{4}$。

而 $f(x)g(x)=x^{2}$ 的割线斜率是

$$\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{x_{2}-x_{1}}=x_{1}+x_{2},$$

取 $x_{1}=0$、$x_{2}=5$ 得 $5>4$。所以 $x^{2}\notin M_{4}$，A 错。

（顺带一提：$x_{1}+x_{2}$ 要多大有多大，所以 $x^{2}$ 不属于任何一个 $M_{\alpha}$。乘法把一次抬成了二次，喇叭再宽也兜不住。）

② 打 B（除法）。 取 $f(x)=x\in M_{2}$、$g(x)=1$。常值函数的割线斜率恒为 $0$，故 $g\in M_{3}$；而且 $g(x)=1\neq 0$ 处处成立，B 要的附加前提也满足。于是 $\alpha_{1}=2$、$\alpha_{2}=3$，B 许诺 $\dfrac{f}{g}\in M_{\alpha_{1}/\alpha_{2}}=M_{2/3}$。

可是 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=x$，割线斜率恒为 $1$，而 $1>\dfrac23$。B 错。

这个反例的狠处在于：除以恒等于 $1$ 的函数，$f$ 一个字都没变，B 许诺的界却从 $2$ 缩成了 $\dfrac23$。

③ 打 D（减法）。 取 $f(x)=2x$，割线斜率恒为 $2$，故 $f\in M_{3}$；取 $g(x)=0$，割线斜率恒为 $0$，故 $g\in M_{2}$。$\alpha_{1}=3>2=\alpha_{2}$，D 要的附加前提也满足，它许诺 $f-g\in M_{\alpha_{1}-\alpha_{2}}=M_{1}$。

而 $f-g=2x$ 的割线斜率恒为 $2$，$2>1$。D 错。

同样的狠处：减掉一个恒为 $0$ 的函数，$f$ 一个字都没变，许诺的界却从 $3$ 缩到了 $1$。

④ 收口。 A、B、D 各被一个反例打掉，四选一只剩 C。

造反例的纪律：反例必须逐条满足题设，漏验一条它就不是反例。上面三个里，每一个都验了 $f\in M_{\alpha_{1}}$、$g\in M_{\alpha_{2}}$；B 另验了 $g(x)\neq 0$，D 另验了 $\alpha_{1}>\alpha_{2}$。验完才算数。

解法三：换成绝对值写法——三角不等式一次给出 C，也顺手说明乘法为什么没救

① 等价写法。 对 $x_{2}>x_{1}$，两侧对称的那条不等式就是一句绝对值的话：

$$f\in M_{\alpha} \iff \left|f(x_{2})-f(x_{1})\right|<\alpha\left|x_{2}-x_{1}\right| \quad\text{对一切 }x_{1}\neq x_{2}.$$

（把 $x_{1}$、$x_{2}$ 对调，两边都不变，所以「$x_{2}>x_{1}$」这个限制可以去掉。）

② 加法：一次放缩就到。 记 $\Delta=\left|x_{2}-x_{1}\right|$，

$$\left|\left(f+g\right)(x_{2})-\left(f+g\right)(x_{1})\right| =\left|\left[f(x_{2})-f(x_{1})\right]+\left[g(x_{2})-g(x_{1})\right]\right| \leqslant\left|f(x_{2})-f(x_{1})\right|+\left|g(x_{2})-g(x_{1})\right| <\alpha_{1}\Delta+\alpha_{2}\Delta,$$

即 $\left|\left(f+g\right)(x_{2})-\left(f+g\right)(x_{1})\right|<\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)\Delta$。C 成立。

③ 减法：同一条放缩，同一个界。 $\left|A-B\right|\leqslant\left|A\right|+\left|B\right|$ 与 $\left|A+B\right|\leqslant\left|A\right|+\left|B\right|$ 是同一条不等式，所以减法照样只能放到 $\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)\Delta$。放缩只朝一个方向走：它能把估计放大，不能把估计收窄。想得到 $\alpha_{1}-\alpha_{2}$ 这种更窄的界，就得往小放，而 $\left|A-B\right|\geqslant\left|A\right|-\left|B\right|$ 给的是下界，方向反了，接不上 D 要的上界。

④ 乘法为什么从原理上就没救。 把积的增量拆开（加一项再减同一项）：

$$f(x_{2})g(x_{2})-f(x_{1})g(x_{1}) =f(x_{2})\left[g(x_{2})-g(x_{1})\right]+g(x_{1})\left[f(x_{2})-f(x_{1})\right].$$

取绝对值再放缩：

$$\left|f(x_{2})g(x_{2})-f(x_{1})g(x_{1})\right| \leqslant\left(\left|f(x_{2})\right|\alpha_{2}+\left|g(x_{1})\right|\alpha_{1}\right)\Delta .$$

（这里只能写 $\leqslant$：$f(x_{2})$ 或 $g(x_{1})$ 恰为 $0$ 时右端会塌成 $0$，严格号保不住。）

括号里挂着的是函数值，不是常数。而 $M_{\alpha}$ 里的函数完全可以无界（$f(x)=x\in M_{2}$ 就是），$\left|f(x_{2})\right|$ 可以要多大有多大——这条放缩给不出任何只由 $\alpha_{1}$、$\alpha_{2}$ 决定的界。

要说清 A 确实错，把这句话坐实一行就够：取 $f=g=x\in M_{2}$，

$$\left|f(x_{2})g(x_{2})-f(x_{1})g(x_{1})\right|=\left|x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right| =\left|x_{1}+x_{2}\right|\Delta ,$$

而 $\left|x_{1}+x_{2}\right|$ 要多大有多大，没有任何 $\alpha$ 兜得住，所以 $x^{2}$ 不属于任何 $M_{\alpha}$，特别地 $x^{2}\notin M_{4}$。A 错在这里。

除法同理：$\dfrac{f}{g}$ 的增量里会冒出 $\dfrac{1}{g(x_{1})g(x_{2})}$，而题面只说 $g(x)\neq 0$，没说 $g$ 离 $0$ 有多远——这个因子同样可以要多大有多大。坐实 B 错的那一行同样是现成的：解法二 ② 里的 $f=x$、$g\equiv 1$ 就把 $\dfrac{f}{g}=x$ 的斜率 $1$ 顶出了 $M_{2/3}$。

⑤ 收口。 加法与减法都只能给出 $\alpha_{1}+\alpha_{2}$：前者正是 C 许诺的，后者比 D 许诺的宽。乘除法给不出任何只由 $\alpha_{1}$、$\alpha_{2}$ 决定的界。选 C。