两个范围相减界要相加

错在哪

看到 $x+y$ 的界是 $a+b$，很容易顺手写出「那 $x-y$ 的界就是 $a-b$」。这一步把运算和界当成了同一件事。

界是对「最坏情况」的估计，而减法的最坏情况恰恰是两个量朝相反方向跑满：

关键在中间那一步：$|y|<b$ 说的是 $y$ 落在关于原点对称的区间 $(-b,b)$ 里，取相反数之后它还是 $(-b,b)$，一点没变窄。所以 $x-y$ 与 $x+y$ 的界完全一样，都是 $a+b$。

而且 $a+b$ 这个界是取得到的（只要 $x$、$y$ 各自能跑到接近 $\pm a$、$\mp b$）：取 $x$ 接近 $a$、$y$ 接近 $-b$，$x-y$ 就接近 $a+b$。所以它不是放松，是准确的那一个。

翻车现场

2009 年浙江卷（理）第 10 题的 D 选项正是这个错：已知两个函数的割线斜率分别满足 $|k_{f}|<\alpha_{1}$、$|k_{g}|<\alpha_{2}$，且 $\alpha_{1}>\alpha_{2}$，它断言 $f-g$ 的割线斜率会被压进 $\left(-(\alpha_{1}-\alpha_{2}),\ \alpha_{1}-\alpha_{2}\right)$。

一个反例就够：取 $f(x)=2x$（割线斜率恒为 $2$，故 $f\in M_{3}$）、$g(x)=0$（割线斜率恒为 $0$，故 $g\in M_{2}$），$\alpha_{1}=3>2=\alpha_{2}$ 全部满足。而 $f-g=2x$ 的割线斜率是 $2$，$\alpha_{1}-\alpha_{2}=1$ 根本框不住它。

减掉一个恒为 $0$ 的函数，$f$ 一点没变；许诺的界却从 $3$ 缩到了 $1$——错就错在这里。

怎么防

• 口诀：加减同界，都是相加。 只要两个范围都关于原点对称，$x+y$ 与 $x-y$ 的界一模一样。
• 拿不准就把减法写成加法：$x-y=x+(-y)$，再看 $-y$ 的范围（对称区间取相反数不变），照加法那条走。
• 「$\alpha_{1}>\alpha_{2}$」这类附加条件是钩子，不是证据。题目把它摆在那里，往往正是为了让 $\alpha_{1}-\alpha_{2}>0$ 看上去像个合法的界。合法不等于成立。
• 收口检查：让其中一个函数取最平凡的那个（恒为 $0$、恒为 $1$、或者就是 $f$ 自己）。若运算之后什么都没变而许诺的界却变窄了，那个结论当场就倒。