差商读成割线斜率

解题套路

题面里出现「对任意 $x_{1}<x_{2}$，有 $\dots f(x_{2})-f(x_{1})\dots x_{2}-x_{1}\dots$」这种形状时：

1. 先定符号：$x_{2}>x_{1}$ 保证 $x_{2}-x_{1}>0$，同除不改变不等号方向。这一步必须写出来——除以一个可能为负的量，整条式子就翻过来了。
2. 同除：把式子两边（含中间那一项）统统除以 $x_{2}-x_{1}$。
3. 认出来：$\dfrac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$ 就是图象上 $\left(x_{1},f(x_{1})\right)$ 与 $\left(x_{2},f(x_{2})\right)$ 两点连线的斜率。给它一个名字（如 $k$），后面全程只跟这个数打交道。

为什么好用

• 抽象条件变成图：「所有割线的斜率都落在 $(-\alpha,\alpha)$ 里」等于说「从图象上任何一点看出去，整条图象都夹在以它为顶点、斜率 $\pm\alpha$ 的那个喇叭里」。看得见，就不容易想歪。
• 一次函数成了现成的例子库：$px+u$ 的割线斜率恒等于 $p$（与取哪两点无关），于是「$px+u$ 满不满足条件」只剩一句 $|p|$ 与 $\alpha$ 比大小。要造例子、要造反例，都从这里取。
• 运算的性质一眼分层：割线斜率对 $f\mapsto f+g$ 是线性的（$k_{f+g}=k_{f}+k_{g}$），对 $f\mapsto fg$、$f\mapsto f/g$ 则不是。于是「加减法的界只会相加、乘除法的界接不上」这件事不必逐个试，从这一层就看出来了。

注意

• 同除之后条件是「对每一对 $x_{1}<x_{2}$ 都成立」，不是「存在某一对」。验证时要覆盖所有两点，造反例时只需找到一对。
• 别把差商和导数混作一谈：差商说的是两点之间的平均变化，导数是一点处的瞬时变化。差商的条件比导数的条件强——它连不可导的函数也管得住。