浙江 2021 · 数学 q10

题面

10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + \sqrt{a_n}} (n \in \mathbb{N}^*)$. 记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则（）
    A. $\frac{1}{2} < S_{100} < 3$
    B. $3 < S_{100} < 4$
    C. $4 < S_{100} < \frac{9}{2}$
    D. $\frac{9}{2} < S_{100} < 5$

答案

A

解析

分析

显然可知， $S_{100}>\frac{1}{2}$ ，利用倒数法得到 $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$ ，再放缩可得 $\frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}<\frac{1}{\sqrt{a_{n}}}+\frac{1}{2}$ ，由累加法可得 $a_{n}\geq\frac{4}{(n+1)^{2}}$ ，进而由 $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+\sqrt{a_{n}}}$ 局部放缩可得 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq\frac{n+1}{n+3}$ ，然后利用累乘法求得 $a_{n}\leq\frac{6}{(n+1)(n+2)}$ ，最后根据裂项相消法即可得到

$S_{100}<3$ ，从而得解.

因为 $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + \sqrt{a_n}} (n \in \mathbb{N}^*)$，所以 $a_n > 0$，$S_{100} > \frac{1}{2}$.

$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + \sqrt{a_{n}}} \Rightarrow \frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{\sqrt{a_{n}}} = \left(\frac{1}{\sqrt{a_{n}}} + \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4}$

$\therefore \frac{1}{a_{n + 1}} < \left(\frac{1}{\sqrt{a_n}} + \frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}} < \frac{1}{\sqrt{a_n}} + \frac{1}{2}$ ，即 $\frac{1}{\sqrt{a_{n + 1}}} - \frac{1}{\sqrt{a_n}} < \frac{1}{2}$

根据累加法可得， $\frac{1}{\sqrt{a_n}}\leq 1 + \frac{n - 1}{2} = \frac{n + 1}{2}$ ，当且仅当 $n = 1$ 时取等号，

$\therefore a_{n} \geq \frac{4}{(n + 1)^{2}} \quad \therefore a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + \sqrt{a_{n}}} \leq \frac{a_{n}}{1 + \frac{2}{n + 1}} = \frac{n + 1}{n + 3} a_{n}$

$\therefore \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq \frac{n + 1}{n + 3},$

由累乘法可得 $a_{n} \leq \frac{6}{(n + 1)(n + 2)}$ ，当且仅当 $n = 1$ 时取等号，

由裂项求和法得:

所以 $S_{100} \leq 6\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{101} - \frac{1}{102}\right) = 6\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{102}\right) < 3$ ，即 $\frac{1}{2} < S_{100} < 3$ .

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 $\sqrt{a_n}, \sqrt{a_{n+1}}$ 的不等关系，再由累加法可求得

$a_{n} \geq \frac{4}{(n + 1)^{2}}$ ，由题目条件可知要证 $S_{100}$ 小于某数，从而通过局部放缩得到

$a_{n}, a_{n+1}$ 的不等关系，改变不等式的方向得到 $a_{n} \leq \frac{6}{(n+1)(n+2)}$，最后由裂项相消法求得 $S_{100} < 3$.