只比极值忘了端点

错在哪

常见写法：

$f'(x)=0$ 得 $x=x_1,x_2$，比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$，得最大值为 $f(x_2)$。

极值是「跟身边比」的局部概念，最值是「跟全区间比」的整体概念。 区间端点处 $f'$ 不必为零 （那里只有单边可比），所以它永远不会出现在 $f'=0$ 的解里——但它照样是候选。

一个一眼可见的例子

$f(x)=\left(x-\sqrt{2x-1}\right)e^{-x}$ 在 $\left[\frac12,+\infty\right)$ 上， $f'=0$ 只给出 $x=1$ 与 $x=\frac52$，对应的值是 $0$ 与 $\frac12e^{-5/2}\approx0.041$。 只比这两个数，会得出「最大值 $\approx 0.041$」。

但左端点 $x=\frac12$ 处 $f\left(\frac12\right)=\frac12e^{-1/2}\approx0.303$， 是那个「极大值」的七倍还多。真正的最大值在端点上。

怎么避免

• 列候选时写成一句口诀：驻点 + 不可导点 + 端点，三类一个都不能少。
• 区间右端是 $+\infty$（或某个开端点）时，端点值换成极限值，并且注明取不取得到。
• 画一张草图。三段「减、增、减」的形状一摆出来，最高点在最左边这件事是看得见的。