浙江 2020 · 数学 q04

冷启动：这四张图彼此差在哪

题目给的是

$$y=x\cos x+\sin x,\qquad x\in[-\pi,\ \pi]$$

问它的图象「大致为」哪一张。四个选项是四张只有 $-\pi$、$O$、$\pi$ 三个刻度的草图，没有数值。所以第一件事不是算，是看清这四张图差在哪——差在哪儿，就去查哪一条性质。

先说明一件事：四张图不在文字里。 本站的题面转写是从扫描件抽出来的文字，四个选项是图，抽不出来，转写里只剩 A、B、C、D 四个光秃秃的字母。下面这张表是照本页上方那张原卷扫描图读出来的。也就是说：这一段是读图，不是推理——它不参与任何一步计算，只在最后对号时用一次。

这张表就是解题计划：

• 一条对称性能把四张切成 $\{A,B\}$ 与 $\{C,D\}$ 两半——一刀砍掉两个；
• 剩下的 A、B 长得一模一样、只差上下翻转，所以第二条性质只要能分出某处的正负就够。$x=\pi$ 处 A 在轴下、B 在轴上，那就去问 $f(\pi)$ 的符号。

两步，两条最便宜的性质，全程不用画曲线。

顺带一条挑点的经验：要挑的点必须在四张图上真的不一样。本题 $x=0$ 就白挑——$f(0)=0$，而四张图全都过原点，算了也分不开任何两个选项。

原卷解析那一行的字母印错了。 官方解析写的是「$\therefore f(x)$ 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 B，D」，紧接着又写「当 $x=\pi$ 时 $y=-\pi<0$，故排除 B」——同一个 B 被排了两次，这一行必有笔误。对着上面那张表看就清楚了：被对称性排掉的是轴对称的 C、D，被端点符号排掉的才是 B，所以前一行的「B，D」应作「C，D」。这处笔误不影响最终答案 A。本站按四张图的实际长相写，不复制它。

（这一段与下面两条解法都无关，只是把源材料的这处出入说清楚，免得读者对着解析发懵。）

解法一：判奇偶排掉一半，再代一个端点定符号

怎么想到的。 选项是四张图，能拿去比图的性质里，奇偶性最便宜：把 $-x$ 代进解析式，用 $\cos$ 是偶、$\sin$ 是奇整理一下，一行就有结果，而它对图象的约束（中心对称还是轴对称）又极强。所以先判奇偶，不够再补一条。

① 先验定义域关于原点对称。 定义域是 $[-\pi,\ \pi]$，$x$ 在里面时 $-x$ 也在里面。这一步不是走过场——定义域不对称，函数连谈奇偶的资格都没有（比如同一个式子限制在 $[0,\pi]$ 上，就既不奇也不偶，本题的整条思路当场失效）。

② 代 $-x$。 记 $f(x)=x\cos x+\sin x$，则

$$f(-x)=(-x)\cos(-x)+\sin(-x)=(-x)\cos x+(-\sin x)=-\left(x\cos x+\sin x\right)=-f(x)$$

中间只用了两条最基本的诱导公式：$\cos(-x)=\cos x$、$\sin(-x)=-\sin x$。

③ 翻译成图象的话。 $f(-x)=-f(x)$ 说的是：点 $\left(x,\ f(x)\right)$ 与点 $\left(-x,\ -f(x)\right)$ 关于原点对称，而后者也在图象上。故 $f$ 是奇函数，图象关于原点成中心对称。

④ 再算一个端点的符号。 取 $x=\pi$：

$$f(\pi)=\pi\cos\pi+\sin\pi=\pi\times(-1)+0=-\pi<0$$

即右端点落在 $x$ 轴下方。

到这里为止，全部推理结束——不看选项也成立的两条性质是：

$$\text{(i)}\ \text{图象关于原点中心对称};\qquad \text{(ii)}\ f(\pi)<0$$

⑤ 最后一步才看图对号。 推导到此为止，剩下的是读图：拿 (i)(ii) 去比原卷那四张图（转写只剩四个字母，图在本页上方的扫描件上，长相见开头那张表），满足这两条的只有一张，就是 A。

为什么挑 $x=\pi$ 而不挑别的点。 选点的第一标准是「能一眼定符号」。$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$ 都是精确值，代进去当场得到 $-\pi$；换成 $x=1$，得到的是 $\cos 1+\sin 1$，还得再判一次正负，等于给自己加了道题。第二标准是这个点得有区分度（见开头那段挑点的经验）。

排除法证明了什么。 ①—④ 挣到的只是「图象中心对称」与「右端在轴下方」这两条正确选项必须满足的性质，⑤ 拿它们淘汰选项，没有正面证明 A 就是那条曲线。之所以能选 A，靠的是单选题「四张里必有一张对」这条题外的保证。所以排除法只在选择题里成立；同样的问题若改成「画出该函数的图象」，就得走解法二。

解法二：求导定升降，把图象自己画出来

怎么想到的。 解法一吃了选项的便宜：正因为 A、B 只差一个翻转，一个端点的符号才够用。如果四张图都是奇函数、只差峰的个数或峰的位置，端点符号就分不开了。这时候得有一条不依赖选项的路——把升降算出来，图象自己就有了。

① 求导。 对 $x\cos x$ 用积的求导法则：

$$f'(x)=\left(\cos x-x\sin x\right)+\cos x=2\cos x-x\sin x$$

② 只做右半边。 已经知道 $f$ 是奇函数，$[-\pi,0]$ 上的形状是 $[0,\pi]$ 上的绕 $O$ 转 $180^\circ$，白送。所以只需在 $[0,\pi]$ 上定升降——工作量直接减半，这是奇偶性的第二笔红利。

③ 右半段 $\left[\tfrac{\pi}{2},\ \pi\right]$：一路递减。 这一段上 $\cos x\le 0$ 故 $2\cos x\le 0$；又 $x>0$、$\sin x\ge 0$ 故 $-x\sin x\le 0$。两项同为非正，且不会同时为零（$x=\tfrac{\pi}{2}$ 时后项等于 $-\tfrac{\pi}{2}<0$；$x>\tfrac{\pi}{2}$ 时前项已经严格为负）。所以

$$f'(x)<0 \quad\text{在}\ \left[\tfrac{\pi}{2},\ \pi\right]\ \text{上恒成立}$$

$f$ 在这一段严格递减。

④ 左半段 $\left(0,\ \tfrac{\pi}{2}\right)$：恰好拐一次。 两端的导数异号：

$$f'(0)=2>0,\qquad f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0-\tfrac{\pi}{2}\cdot 1=-\tfrac{\pi}{2}<0$$

异号只能保证「至少有一个」零点，要断定「恰好一个」还得知道 $f'$ 在这段上单调。再求一次导：

$$f''(x)=-2\sin x-\left(\sin x+x\cos x\right)=-3\sin x-x\cos x$$

在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上 $\sin x>0$、$x>0$、$\cos x>0$，三项一凑得 $f''(x)<0$，故 $f'$ 在这段上严格递减。一个严格递减的连续函数从 $2$ 走到 $-\tfrac{\pi}{2}$，穿过 $0$ 有且只有一次——记这个零点为 $x_0\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$，且 $f'$ 在 $(0,x_0)$ 上为正、在 $\left(x_0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上为负。

$x_0$ 满足 $2\cos x=x\sin x$，即 $\tan x=\dfrac{2}{x}$——这个方程没有初等解，也不需要解。选图只关心「右半边有且只有一个峰」，峰的横坐标是多少，四张图上根本没标。想把它算准是这类题最典型的时间黑洞。

⑤ 把右半边接起来。 $f$ 在 $(0,x_0)$ 上增、在 $(x_0,\pi)$ 上减；端点值 $f(0)=0$、$f(\pi)=-\pi<0$。于是右半边是：从原点出发上升到一个正的最大值 $f(x_0)$，再一路下降穿过 $x$ 轴（因为终点是负的，由连续性必穿且只穿一次），最后停在 $(\pi,\ -\pi)$。一个包，一个下穿点，右端在轴下方。

⑥ 奇对称补左半边。 把右半边绕 $O$ 转 $180^\circ$：从 $(-\pi,\ \pi)$ 出发下降到最小值 $f(-x_0)=-f(x_0)$，再上升回原点。一个谷，左端在轴上方。

⑦ 对图。 左端在上、一个谷、过原点、一个包、右端在下——正是 A。

两条路差在哪。 解法一是对着选项做减法：它不问这函数长什么样，只问「哪一条性质能把这四张图分开」，代价是两行字，但它的结论依附于选项——离开单选题就什么也没证明。解法二是不看选项做加法：求导、定升降、接端点、用对称补另一半，最后得到的是一条完整的曲线，选项只是拿来对号。考场上当然走解法一；但解答题问「画出图象并写出单调区间」时，能用的只有解法二。它俩的分界线是「有没有选项可用」，不是「哪个更聪明」。

🕳️ 避坑

• 奇偶与对称记反。 奇函数是中心对称（原点），偶函数是轴对称（$y$ 轴）。记反了，这道题会稳稳地落进那两张轴对称的图里（照开头那张表，就是 C 和 D）。自查一秒：判出奇函数后，留下的两张图应当是「一边在轴上、一边在轴下」这种一上一下的长相。
• 不看定义域就判奇偶。 定义域必须关于原点对称，否则奇偶性无从谈起。本题的 $[-\pi,\pi]$ 是对称的，但同类题常故意给 $[0,\pi]$ 或 $(-1,2]$。
• 一条性质用完就收手。 奇偶性只能砍掉一半，本题剩下的 A、B 都是奇函数。剩两个还硬选，命中率是一半。
• 特殊点挑得不好算。 挑点的标准是「三角函数取得到精确值」且「这个点在四张图上确实不同」。$0$、$\tfrac{\pi}{2}$、$\pi$ 是常备的三个候选：$f(0)=0$ 没有区分度（四张图都过原点），$f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{\pi}{2}\cos\tfrac{\pi}{2}+\sin\tfrac{\pi}{2}=1>0$ 可用，$f(\pi)=-\pi$ 最省事。
• 想把曲线画准。 去解 $\tan x=\dfrac{2}{x}$ 求峰的位置，或求二阶导找拐点——「大致图象」四个字明确说了不必。解法二里 $f''$ 只用来断定 $f'$ 单调（从而峰唯一），不是去找拐点。

对照四张图，故选 A。