求函数在区间上的取值范围

题型说明

• 常见问法：「求 $f(x)$ 在 $\left[\frac12,+\infty\right)$ 上的取值范围」「求 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的值域」。
• 与「求最大值」只差一步，但那一步经常被跳过：最值只要两个数，值域要的是这两个数之间是不是全都取得到。

四步固定动作

1. 求导，找出所有 $f'=0$ 与 $f'$ 不存在的点。 它们连同区间端点，是全部的候选。
2. 定符号，切成单调段。 把候选点从小到大排开，逐段判 $f'$ 的正负。区间被切成若干「一路增」或「一路降」的小段。
3. 每段算两个端点值。 连续函数在一段单调区间上的值域，就是两个端点值围成的闭区间——中间的值靠介值性全都取得到，不必逐个验证。
4. 把这些小区间并起来。 并集就是答案。

三个最容易丢分的地方

• 只比极值、忘了区间端点。 端点不是驻点，$f'$ 在那里不必为零，但它照样可能是最高或最低的那个数。
• 无穷区间要看极限。 区间右端是 $+\infty$ 时，最后一段的「右端点值」是极限值： $f$ 单调降向 $L$ 而取不到 $L$ 时，那一段贡献的是半开区间。 但若 $L$ 已经被前面某一段取到，并起来之后仍然是闭的——这一步要合并之后再判开闭，不能逐段下结论。
• 把单调段的端点值当成整个区间的最值。 有三段时，最大值是三段里各自最高值的最大者， 不是「中间那段的极大值」。

一条自查

算完之后回头数一遍：候选点的个数 = 驻点数 + 端点数，每一个都代过一次吗？ 少代一个，答案就可能少一截。