浙江 2017 · 数学 q07

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2017 · 数学 q07 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

7．（5分）函数y=f（x）的导函数y=f′(x)y {=} f^{\prime} \left( x \right)的图象如图所示，则函数y=f(x)y = f ( x )的图象可能是（ ）

A

B

C

D

A

B

C

D

答案

D

本题的知识树

2 概念 · 1 定理 · 1 题型 · 2 套路 · 1 易错点 · 最深 2 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

由导函数图象选原函数图象 · 正着给 f′ 分段定号拼出升降，或反着把每个选项的导数推回去比对 · 最终答案：D

冷启动：题面画的那条曲线，不是 ff

这道题从头到尾没有一个式子，全是图。第一件要说清楚的事是：

题面给的那条曲线是 y=f′(x)y=f'(x)，不是 y=f(x)y=f(x)。 四个选项才是 ff 的候选。

于是全部工作就是把「f′f' 的图象」翻译成「ff 的图象」。翻译只靠一条规则：

f′(x)>0 ⟹ f 在这段上递增,f′(x)<0 ⟹ f 在这段上递减f'(x)>0\ \Longrightarrow\ f\ \text{在这段上递增},\qquad f'(x)<0\ \Longrightarrow\ f\ \text{在这段上递减}

注意这条规则看的是「f′f' 在 xx 轴的哪一侧」，不是「f′f' 自己往哪儿走」。 这两件事经常被搅在一起，而它们真的不是一回事——举个当场戳破的例子： f(x)=−1xf(x)=-\dfrac1x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的导数是 f′(x)=1x2f'(x)=\dfrac{1}{x^{2}}， 这条 f′f' 一路往下降，但它始终在 xx 轴上方，所以 ff 一路上升。 本题的 f′f' 图象自己是「升、降、升」，而 ff 的升降是四段——两串数根本对不上。

再补一条会用到的：f′f' 变号穿过 xx 轴的地方，就是 ff 的极值点。

  • 由 −- 变 ++：ff 先降后升，那里是极小值点；
  • 由 ++ 变 −-：ff 先升后降，那里是极大值点。

读一遍题面那张图。 它与 xx 轴有三个交点，记作 x1<x2<x3x_1<x_2<x_3，而且

  • 从左边远处上来时曲线在 xx 轴下方，在 x1x_1 处穿上去；
  • 在 x2x_2 处又穿回下方；
  • 在 x3x_3 处再穿上去，之后一路在上方。

x1x_1 落在 yy 轴左边，x2x_2、x3x_3 都落在 yy 轴右边——最后这一句待会儿是决胜的那一刀。

教学图：上下两块横坐标对齐。上块画 y=f′(x)，与 x 轴交于 x₁、x₂、x₃，四段用绿色/红色底纹分别标出 + 与 −；下块画它的原函数 y=f(x)，在 x₁ 取极小、x₂ 取极大、x₃ 取极小，三条竖虚线把上下两块的同一横坐标连起来；标题写明 f′>0 往上走、f′<0 往下走，f 依次递减、递增、递减、递增共四段，只画出三段的 A、C 出局，极大值点 x₂ 在 y 轴右侧故把它画在左边的 B 出局，官方答案 D

解法一：正着走，给 f′ 分段定号

怎么想到的。 手上有的是 f′f'，要的是 ff，那就顺着规则一段一段翻译过去， 先把 ff 「长什么样」在心里画出来，再拿去和四个选项比。这是这类题的默认打法。

① 用三个交点把 xx 轴切成四段。

(−∞, x1),(x1, x2),(x2, x3),(x3, +∞)(-\infty,\,x_1),\quad (x_1,\,x_2),\quad (x_2,\,x_3),\quad (x_3,\,+\infty)

② 逐段读 f′f' 的正负。 只看曲线在 xx 轴的上方还是下方：

区间f′f' 的位置f′f' 的符号ff
(−∞, x1)(-\infty,\,x_1)下方−-递减
(x1, x2)(x_1,\,x_2)上方++递增
(x2, x3)(x_2,\,x_3)下方−-递减
(x3, +∞)(x_3,\,+\infty)上方++递增

③ 把这串符号读成 ff 的形状。 ff 依次递减、递增、递减、递增——四段升降， 中间拐了三次弯：

x1 处极小,x2 处极大,x3 处极小x_1\ \text{处极小},\qquad x_2\ \text{处极大},\qquad x_3\ \text{处极小}

④ 拿去筛选项。

  • 先筛段数。 选项 A 与 C 画出来的都只有三段升降（升、降、升或降、升、降）， 比要求的少一段，无论怎么摆都对不上，出局。
  • 再筛位置。 剩下 B 与 D 都有四段，但那个极大值点（第二个拐弯处，即 x2x_2） 必须落在 yy 轴右边——题面图上 x2x_2 就在原点右侧。 B 把它画在了 yy 轴左边，出局。

只剩 D，故选 D。

解法二：反着走，把每个选项的导数推回去

怎么想到的。 上一条路是「由 f′f' 造 ff」。可选择题给了四张现成的 ff， 那就干脆反过来：假设某个选项就是 ff，看看它的导数该长什么样，再与题面那张 f′f' 比。 造一个图要想象，验一个图只需数数——反向验证比正向构造省脑子， 而且它天然带着「四个选项逐个过一遍」的完整性。

这条路只数两个数，都是从图上直接看出来的：

  • ① 这条曲线拐了几次弯（有几个极值点）。ff 每拐一次弯，f′f' 就要变号一次， 也就是与 xx 轴多一个交点。题面的 f′f' 有 3 个交点 ⇒\Rightarrow ff 必须拐 3 次弯。
  • ② 每个拐弯处在 yy 轴的哪一侧，以及它是上凸的顶（极大）还是下凹的底（极小）。 题面的 f′f' 告诉我们：x1x_1 在左、是极小；x2x_2 在右、是极大；x3x_3 在右、是极小。

逐项验：

选项它拐了几次弯那么它的 f′f' 该有几个零点与题面的 3 个判定
A2 次（降、升、降）2少一个✗
B3 次（降、升、降、升）3对上了进下一轮
C2 次（降、升、降）2少一个✗
D3 次（降、升、降、升）3对上了进下一轮

第二轮只剩 B 与 D，比极大值点的位置：

  • B 的那个顶画在 yy 轴左侧 ⇒\Rightarrow 它的 f′f' 该在 yy 轴左侧由 ++ 变 −-， 可题面的 f′f' 在 yy 轴左侧只有一个交点，且是由 −- 变 ++。对不上，✗。
  • D 的顶画在 yy 轴右侧，与题面的 x2>0x_2>0 一致，✓。

故选 D。

这两条路差在哪。 解法一一次成型：翻译完就知道 ff 该长什么样， 哪怕选项换成十个也是一遍过；缺点是要在脑子里把形状「画」出来。 解法二不用画，只在图上数拐弯，手比脑子快，还顺带逐项给出了淘汰理由； 缺点是必须四个都看一遍，选项多了就不划算。 考场上的实操建议：先用解法一读出「四段、三次拐弯、极大在右」这三条特征， 再用解法二的方式拿着这三条去逐项筛——两条路合起来用最快。

这类题最大的坑，是把题面那张图当成 ff 自己。 题面的 f′f' 图象自己是「升、降、升」三段， 照着它的形状去选项里找一个「升、降、升」的图，正好落进 A 或 C 那一档—— 出题人特意摆了两个三段的选项在那儿。 动笔前先在图旁写四个字：这是导数。然后只记每段的正负号，把曲线本身的起伏彻底忘掉。

四个选项的来路。

选项它错在哪
A只有三段升降。多半是照着 f′f' 的起伏描形状描出来的
B四段升降都对，唯独把极大值点画到了 yy 轴左边——「形状对、位置错」
C同样只有三段。与 A 的区别只是首段方向不同，一起被段数筛掉
D四段升降 + 极大值点在 yy 轴右侧，两条都对

顺带说一句为什么题目问「可能是」而不是「就是」。 因为 ff 加上任意常数，导数完全不变 （(f+C)′=f′(f+C)'=f'）。所以由 f′f' 只能定出 ff 的形状，定不出它的高低—— 图象与 xx 轴有几个交点、极值是正是负，这些都不是能确定的信息，别拿它们去筛选项。

本题涉及的教材页

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