数轴标根定符号

套路说明

什么时候用：式子已经（或容易）写成一串一次因式相乘

而问的是「$f>0$ 的解集」「$f\geqslant 0$ 在某段上是否成立」「$f$ 在某点附近的正负」。分式不等式先化成 「一个分式 $\gtrless 0$」，分子分母的零点一起标上数轴（分母的零点只能取空心）。

四步：

1. 首项系数化正。$k<0$ 就把 $-1$ 提到外面，同时把不等号反向——之后可以一律「最右段为正」。
2. 零点从小到大标上数轴，每个点旁注重数（$m_i$ 是它作为因式的次数）。
3. 最右段写 $+$：$x$ 比所有零点都大时每个因式都为正。
4. 往左逐段定号：过一个奇重零点变一次号，过一个偶重零点不变号。

于是全轴的符号一次读出。要判「$f\geqslant 0$ 在区间 $I$ 上恒成立」，就看 $I$ 是否整个压在 $+$ 的段上 （零点本身取不取，由不等号带不带等号决定）。

偶重零点：碰一下就回去

$(x-r)^2$ 在 $r$ 的两侧同号，所以图象在 $x=r$ 处碰到轴又弹回原来那一侧，符号不变。 这一条是整个套路里最容易漏的：

• 漏掉它，「$f\geqslant 0$ 的解集」会被算成互不相邻的几段之并，实际上相邻两段是连通的（中间那个偶重零点只是一个接触点）；
• 反过来，它也是「零点落在区间里却仍然非负」的唯一出路——一个奇重零点落在区间内部， 它左右两侧一定有一侧为负，恒成立立刻破；偶重零点则可以大摇大摆地待在区间里。

判「最后一次变号在哪」时，看的是最大的奇重零点，不是最大的零点： $f(x)=(x+1)(x-5)^2$ 的最大零点是 $5$，但它在 $x\geqslant -1$ 上非负。

注意

• 重数只看奇偶，不看大小：三重与一重给同样的变号效果。
• 零点里含参数时，「谁在左谁在右」本身要分类讨论，标根图得按情形各画一张。
• 数轴标根给的是全段信息。只代一两个特殊点得到的是必要条件，不能反过来当作恒成立的理由。