浙江 2012 · 数学 q01

冷启动：两个集合，一个补，一个交

题面把两个集合都写成「$x$ 满足什么」的样子：

$$A=\{x\mid 1<x<4\},\qquad B=\{x\mid x^{2}-2x-3\leqslant 0\} .$$

$A$ 已经是现成的区间，$B$ 还裹着一层不等式。所以整道题的第一个动作只能是把 $B$ 解出来：

$$x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)\leqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\leqslant x\leqslant 3 , \qquad\text{即}\quad B=[-1,3] .$$

于是 $\complement_{\mathbf{R}}B=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$（原卷用的是老写法 $C_{R}B$，与现行教材的 $\complement_{\mathbf{R}}B$ 同义）。 $B$ 的两个端点是闭的，取补之后它们必须变成开的——这是本题唯一一处会让人栽的地方。 再与 $A=(1,4)$ 求交：$(-\infty,-1)$ 与 $(1,4)$ 连边都不沾，剩下

$$(3,+\infty)\cap(1,4)=(3,4) ,$$

选 B。

把这道题的立意说破：$A\cap\complement_{\mathbf{R}}B$ 就是「从 $A$ 里把 $B$ 挖掉」。 $A=(1,4)$，$B$ 盖住了它左边的 $(1,3]$ 那一截，挖掉之后当然只剩右边的 $(3,4)$。 这么看，答案必定是 $A$ 的一段——四个选项里 A、B、C 都是 $A$ 的一段，只有 D 不是， 它凭空多出了一个端点 $2$，那个 $2$ 从头到尾没在题面里出现过。

四个选项恰好是四种做法的产物，这才是这道题值得记的部分：

解法一：老实两步——先解出 $B$，再在数轴上取补、取交

第一步：解 $B$。 $x^{2}-2x-3$ 的两根由十字相乘一眼看出：

$$x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1) .$$

二次项系数为正，图象开口向上，按数轴标根定符号：在数轴上标出 $-1$ 与 $3$， 曲线从右上方进来，穿过 $3$ 转到轴下、穿过 $-1$ 又回到轴上。要的是 $\leqslant 0$， 取轴下那一段连同两个根：

$$B=\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}=[-1,3] .$$

第二步：取补。 补集是「整条数轴上不属于 $B$ 的点」，把 $B$ 从数轴上抠掉：

$$\complement_{\mathbf{R}}B=(-\infty,-1)\cup(3,+\infty) .$$

抠掉的是一个闭区间，剩下的两段在接口处自然是开的—— $-1$ 与 $3$ 本身属于 $B$，所以它们不属于补集。这一句必须在心里过一遍， 因为下一步 $3$ 恰好是答案的左端点。

第三步：取交集。 $A=(1,4)$ 与上面两段分别相交：

$$(-\infty,-1)\cap(1,4)=\varnothing ,\qquad (3,+\infty)\cap(1,4)=(3,4) .$$

所以 $A\cap\complement_{\mathbf{R}}B=(3,4)$，选 B。

解法二：不写 $B$，把「不在 $B$ 里」直接写成一个不等号翻过来的不等式

上一条路要写出 $B$、再写出补集，两次落笔两次机会写错端点。其实补集根本不必写出来。

这道题的全集是 $\mathbf{R}$，而 $B$ 是由一个不等式定义的。 「$x$ 不满足 $x^{2}-2x-3\leqslant 0$」这句话，翻成不等式就是把 $\leqslant$ 连同等号一起翻过来：

$$x\in\complement_{\mathbf{R}}B \iff x^{2}-2x-3>0 .$$

于是所求集合就是一个不等式组：

$$A\cap\complement_{\mathbf{R}}B=\{x\mid 1<x<4\ \text{且}\ x^{2}-2x-3>0\} .$$

$x^{2}-2x-3>0$ 即 $(x-3)(x+1)>0$，解得 $x<-1$ 或 $x>3$。与 $1<x<4$ 联立： $x<-1$ 与 $1<x<4$ 无公共部分；$x>3$ 与 $1<x<4$ 给出 $3<x<4$。答案 $(3,4)$，选 B。

这条路好在哪：端点的开闭不再是一件要「记得翻」的事，它是不等号自己翻的。 $\leqslant$ 的否定是 $>$，严格不等式解出来的区间天生是开的， 那个最容易错的地方被语法本身兜住了。全集是 $\mathbf{R}$ 这个前提也在这里显式用到了一次—— 若全集换成别的（比如只在正数里讨论），这一翻就不成立。

解法三：四个选项的端点只有 $1,2,3,4$，代一个 $x=\dfrac{3}{2}$ 就砍掉三个

选择题还有一条更快的：排除法配上特殊值代入。

看四个选项的端点：$1,2,3,4$。相邻两个端点之间随手取一个数，就能把选项劈成两半。 取 $x=\dfrac{3}{2}$（在 $1$ 与 $2$ 之间），它落在哪些选项里？

$$\frac{3}{2}\in(1,4)=\text{A} ,\qquad \frac{3}{2}\notin(3,4)=\text{B} ,\qquad \frac{3}{2}\in(1,3)=\text{C} ,\qquad \frac{3}{2}\in(1,2)\subset\text{D} .$$

四个选项里有三个含它。那就只需回答一个问题：$\dfrac{3}{2}$ 到底该不该在答案里？

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-2\cdot\frac{3}{2}-3=\frac{9}{4}-3-3=-\frac{15}{4}\leqslant 0 ,$$

所以 $\dfrac{3}{2}\in B$，也就不在 $\complement_{\mathbf{R}}B$ 里，更不可能在 $A\cap\complement_{\mathbf{R}}B$ 里。 含 $\dfrac{3}{2}$ 的选项一律出局：A、C、D 同时倒下，只剩 B。

保险起见再正面验一个：取 $x=\dfrac{7}{2}\in(3,4)$，

$$\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2\cdot\frac{7}{2}-3=\frac{49}{4}-7-3=\frac{9}{4}>0 ,$$

$\dfrac{7}{2}$ 确实不在 $B$ 里，且 $1<\dfrac{7}{2}<4$，所以它在答案里。B 站得住。

这条路什么时候值得用：选项都是区间、且端点个数很少的时候。 本题只有四个端点，一个数就砍掉三个选项——比老老实实解两次不等式还快。 反过来说，它不给你答案的表达式，只在选项里做淘汰； 如果四个选项两两之间没有这种「代一个数就分得开」的差别，这条路就不灵。

三条提醒

1. $\complement_{\mathbf{R}}B$ 的端点开闭一定要翻。 $B$ 用的是 $\leqslant$，两端是闭的； 补集的两端就必须是开的。本题四个选项全是开区间，翻错了甚至找不到一个能选的—— 这是出题人的仁慈，别指望下一道题也这样。
2. $2$ 这个数题面里从来没出现过。 选项 D 里的 $2$ 是「把 $(x-3)(x+1)$ 的两根读成 $2$ 与 $3$」 留下的痕迹。因式分解之后回代验一下（$x=-1$：$1+2-3=0$ ✓）只要三秒， 却能挡住这一整类错误。
3. 先想清楚答案该长什么样，再去看选项。 $A\cap\complement_{\mathbf{R}}B\subseteq A$， 所以答案必定被 $(1,4)$ 装得下、且必定是 $A$ 挖掉一截之后剩下的东西。 $A$ 是一个区间、挖掉的 $B$ 从左边盖进来，剩下的只能是一段—— D 那种「两截」的形状当场就不对。这一眼比任何计算都便宜。