浙江 2015 · 数学 q01

冷启动：这道题只有一个考点，就是端点

$P$、$Q$ 里装的都是实数，问的是 $(\complement_{R}P)\cap Q$。 运算本身没有难度：$P$ 由一个二次不等式给出，$Q$ 直接给了区间。

真正会丢分的地方只有一处——端点的开闭。四个选项 $[0,1)$、$(0,2]$、$(1,2)$、$[1,2]$ 的「内部」其实差不多，差的全是两头那两个点带不带。所以从一开始就要盯住三个数：

• $x=0$：$P$ 的一个根；
• $x=1$：$Q$ 的左端；
• $x=2$：$P$ 的另一个根，同时是 $Q$ 的右端。

取补集会把端点的开闭翻过来：$P$ 在 $0$ 和 $2$ 处是闭的（$\geq$ 取到等号）， 所以 $\complement_{R}P$ 在这两处一定是开的。这一句是全题的钥匙。

解法一：解出 P，先取补集再和 Q 求交

第一步：解二次不等式，把 $P$ 写成区间

$$x^{2}-2x\geq 0\iff x(x-2)\geq 0 .$$

左边是开口向上的二次式，两根是 $0$ 与 $2$。大于等于零取两根之外（含两根本身），

$$P=(-\infty,0]\cup[2,+\infty) .$$

注意 $0$ 与 $2$ 是闭端点：不等式取的是 $\geq$，等号成立处属于 $P$。

第二步：取补集，两个闭端点全翻成开

$P$ 在数轴上是两条闭射线，它在 $\mathbf{R}$ 里的补集就是中间那一段，且

$$\complement_{R}P=(0,2) .$$

两端都是开的：$0\in P$、$2\in P$，所以它们都不在补集里。

第三步：与 $Q$ 求交，端点逐个定

$Q=(1,2]$。求交时把两条区间叠在一起，逐个端点问「两边都含吗」：

• 左端 $x=1$：补集 $(0,2)$ 含它，但 $Q$ 是 $1$ 开、不含。两边都含才进交集，故 $1\notin$ 交集，左端开。
• 右端 $x=2$：$Q$ 含它（$Q$ 是 $2$ 闭），但补集 $(0,2)$ 不含。故 $2\notin$ 交集，右端开。
• 中间：$1<x<2$ 的每个 $x$ 都同时满足 $0<x<2$ 与 $1<x\leq 2$，全部进交集。

$$(\complement_{R}P)\cap Q=(0,2)\cap(1,2]=(1,2) .$$ $$\boxed{\text{选 C}}$$

解法二：三个试探点，把四个选项一一淘汰

这是选择题，可以不算出那个集合，只判断某个具体的数在不在里面。 判据很短：$x$ 属于 $(\complement_{R}P)\cap Q$ 当且仅当

$$x^{2}-2x<0\quad\text{且}\quad 1<x\leq 2 .$$

（左边就是「$x\notin P$」，即 $x$ 在补集里；右边是 $x\in Q$。）

第一步：$x=2$ 进不进？

$2^{2}-2\times 2=0$，不小于 $0$，所以 $2\in P$、$2\notin\complement_{R}P$。故 $2$ 不在答案里。

• $(0,2]$ 含 $2$ —— 淘汰 B；
• $[1,2]$ 含 $2$ —— 淘汰 D。

第二步：$x=\dfrac{3}{2}$ 进不进？

$\left(\dfrac32\right)^{2}-2\times\dfrac32=\dfrac94-3=-\dfrac34<0$，所以 $\dfrac32$ 在补集里； 又 $1<\dfrac32\leq 2$，所以 $\dfrac32\in Q$。故 $\dfrac32$ 在答案里。

• $[0,1)$ 不含 $\dfrac32$ —— 淘汰 A。

第三步：只剩 C，再正面验一次

四个选项已淘汰三个，只剩 $(1,2)$。为稳妥再验两个方向：

• 取 $x=\dfrac12$：它在补集里（$\dfrac14-1<0$），但 $\dfrac12\leq 1$ 不在 $Q$ 里，故不在答案里——而 $(1,2)$ 也不含它，一致；
• 取 $x=1$：$1-2=-1<0$ 在补集里，但 $Q$ 是 $1$ 开、不含 $1$，故不在答案里——$(1,2)$ 也不含，一致。

$$\boxed{\text{选 C}}$$

两条路怎么选

两条路的分水岭是要不要真的把集合算出来。 解法一是通法：任何「$\complement$、$\cap$、$\cup$ 混合」的题都能照搬，代价是要老老实实解一次不等式； 它的价值在于把「取补翻开闭」这条规则用一次数轴钉死，以后遇到 $\geq$ 与 $>$ 混排也不会乱。

解法二把选择题当选择题做：四个选项的差别全在端点上，那就专挑端点当试探点。 $x=2$ 一枪打掉两个选项，$x=\dfrac32$ 再打掉一个——总共两次代入。 它的风险在于试探点挑得不狠：若第一枪取 $x=1.5$，只能淘汰 A，还得再来两次。 先看四个选项在哪儿分岔，再决定往哪儿开枪，这一步比代入本身重要。