浙江 2020 · 数学 q09

冷启动：三个零点已经写在题面上了

设

$$f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b).$$

题面把它已经因式分解好了，这是本题唯一的礼物：$f$ 是三次式、首项系数是 $1$（正的）， 三个零点现成地摆着——

$$a,\qquad b,\qquad 2a+b .$$

一个已经分解成一次因式之积的多项式，符号完全由「零点在哪、各自重几次」决定，这就是套路 数轴标根定符号：把零点从小到大标上数轴，最右一段为 $+$，往左每过一个奇重零点变一次号、 过偶重零点不变号。于是题设那句话可以整句翻译：

$f(x)\geqslant 0$ 在 $x\geqslant 0$ 上恒成立 $\iff$ $0$ 落在最后一次变号的右边（可以正好落在变号点上） $\iff$ 最大的奇重零点 $\leqslant 0$。

这一句是整道题的全部数学内容，三条路都从它出发。注意它说的是最大的奇重零点， 不是最大的零点：偶重零点可以待在正半轴上而不破坏非负（$(x+1)(x-5)^2$ 在 $x\geqslant -1$ 上非负， 它的最大零点是 $5$）。

还有两处读题要盯住：

• $ab\neq 0$ 不是装饰，它说的是 $a\neq 0$ 且 $b\neq 0$。这三个字是本题的枢轴， 下面「避坑」第一条会拿反例说明：删掉它，正确选项就没了。
• 四个选项问的是「必然成立」，也就是由题设推出的必要条件。所以否掉一个选项只要一个反例， 肯定一个选项却必须证明——这个不对称是解法一与解法二的分工线。

解法一：造两个反例，把另外三个选项直接打掉

考场上先别解解集。四个选项两两对立（$a$ 的正负、$b$ 的正负），只要找到两组都满足题设、 而 $a$ 一正一负的 $(a,b)$，关于 $a$ 的两个选项就同时死了。

怎么找这种 $(a,b)$？照冷启动那句判据反着造：要么让三个零点全落在原点左边，要么让最大的那个零点变成偶重根。

第一组：让三个零点全在左边。 最省事的取法是 $a=b$，此时三个零点是 $a$、$a$、$3a$； 取 $a=b=-1$，零点是 $-1$（二重）与 $-3$，于是

$$f(x)=(x+1)(x+1)(x+3)=(x+1)^2(x+3).$$

逐条验题设：$ab=1\neq 0$ ✓；$x\geqslant 0$ 时 $(x+1)^2\geqslant 0$、$x+3>0$，故 $f(x)\geqslant 0$ ✓ （其实对一切 $x\geqslant -3$ 都成立）。这一组里 $a=-1<0$，所以选项 B（$a>0$）不必然。

第二组：让最大的零点变成二重根。 要 $a$ 与 $2a+b$ 重合，即 $b=-a$；取 $a=1$、$b=-1$， 三个零点是 $1$、$-1$、$1$，于是

$$f(x)=(x-1)(x+1)(x-1)=(x-1)^2(x+1).$$

验一遍：$ab=-1\neq 0$ ✓；$x\geqslant 0$ 时 $(x-1)^2\geqslant 0$、$x+1>0$，故 $f(x)\geqslant 0$ ✓ （$x=1$ 处取等，图象碰一下轴就回去了）。这一组里 $a=1>0$，所以选项 A（$a<0$）不必然。

顺手把 D 也打掉：上面两组的 $b$ 都等于 $-1<0$，所以「$b>0$」不必然，D 出局。

三个选项出局，只剩 C。

但这条路有个前提，得说清楚：排除法作数靠的是「四选一且必有一个正确」。 它证明的是「A、B、D 都不必然」，并没有证明「$b<0$ 必然」——那是解法二的事。 这个区别就是易错点「必要条件当成充要条件」：刷掉选项用的是必要条件，够不够看题型。 选择题够用，同样的题改成填空「写出 $b$ 的取值范围」，这条路一个字也交不出来。

解法二：反设 $b>0$——正的零点必须是偶重根，逐个查都不成立

这条路不管解集长什么样，只回答被问的那一件事：为什么 $b<0$ 一定成立。用反证法。

由 $ab\neq 0$ 已知 $b\neq 0$，所以只需否掉 $b>0$。反设 $b>0$。

$b$ 是 $f$ 的零点，而它落在 $x\geqslant 0$ 的内部。分两种可能：

• 若 $b$ 是奇重零点，$f$ 在 $b$ 的两侧异号，于是 $b$ 附近必有一点 $x_0$ 使 $f(x_0)<0$； 只要取得离 $b$ 足够近，$x_0>0$ 一定办得到（这里用到 $b>0$）。与题设矛盾。
• 所以 $b$ 只能是偶重零点，也就是 $b$ 必须与另外两个零点之一重合。两种情况各查一遍：
  • $b=2a+b$ $\Longrightarrow$ $a=0$，与 $ab\neq 0$ 矛盾；
  • $b=a$ $\Longrightarrow$ 三个零点是 $a$、$a$、$3a$，即 $b$（$=a$）二重、$3a$ 单重。 由反设 $b>0$ 得 $a>0$，于是 $3a>a>0$：$3a$ 是一个落在正半轴上的奇重零点， 在它左边紧邻的那一段（也就是区间 $(a,3a)$）上 $f<0$，而这一段整个躺在 $x>0$ 里。矛盾。

两种情况全灭，反设不成立，故 $b<0$。选 C。

顺便看清一件事：这条路把「$b$ 是偶重根」逼出来之后，$a$ 的符号根本没被问过—— $a$ 正 $a$ 负都能满足题设，这就是 A、B 同时不必然的原因，与解法一造出的两个反例是同一回事的两种说法。

解法三：把 $(a,b)$ 的解集整个解出来

要的信息比选项更多时（比如题目改成「求 $(a,b)$ 满足的条件」），就把判据「最大的奇重零点 $\leqslant 0$」 落实到底。零点是否重合决定谁是奇重根，所以按零点的重合方式分类讨论——三个零点两两配对， 只有三种重合可能：

情形 1：三个零点互不相同。 三个都是单重（奇重），判据要求最大的那个 $\leqslant 0$，即

$$a\leqslant 0,\quad b\leqslant 0,\quad 2a+b\leqslant 0 .$$

配上 $ab\neq 0$ 得 $a<0$ 且 $b<0$，此时 $2a+b<0$ 自动成立。反过来，$a<0$、$b<0$ 时三个零点全为负， $x\geqslant 0$ 整段落在最右那一段上，$f>0$。所以这一族是充要的：$a<0$ 且 $b<0$。

情形 2：$a=b$（且不与 $2a+b$ 重合）。 零点是 $a$（二重）与 $3a$（单重），唯一的奇重零点是 $3a$， 判据给 $3a\leqslant 0$，即 $a=b<0$——已经包含在情形 1 的结论里，没有带来新的解。

情形 3：$a=2a+b$，即 $b=-a$。 零点是 $a$（二重）与 $-a$（单重），唯一的奇重零点是 $-a$， 判据给 $-a\leqslant 0$，即 $a\geqslant 0$；由 $ab\neq 0$ 排掉 $a=0$，得

$$a>0,\qquad b=-a<0 .$$

验一下：$f(x)=(x-a)^2(x+a)$，在 $x\geqslant -a$ 上非负，当然覆盖 $x\geqslant 0$ ✓。 这一族里最大的零点 $a$ 是正的，可以任意大，恒成立却毫发无伤——就靠它是二重根。

情形 4：$b=2a+b$。 直接给 $a=0$，被 $ab\neq 0$ 排除。（三重根要求 $a=b=2a+b$，同样给 $a=0$。）

合起来，题设的充要条件是

$$\underbrace{\{a<0,\ b<0\}}_{\text{三根全负}}\ \cup\ \underbrace{\{a>0,\ b=-a\}}_{\text{最大的根二重}} .$$

两族里 $b$ 都是负的 $\Longrightarrow$ C 必然成立；$a$ 在第一族里负、在第二族里正 $\Longrightarrow$ A、B 都不必然；$b>0$ 在两族里都不出现 $\Longrightarrow$ D 恒假。选 C。

三条路差在哪

• 解法一最快（两个反例，三十秒），但它只回答「哪三个选项是错的」，且必须借「四选一」这个外部前提。
• 解法二只证 C，不需要知道解集长什么样。它是三条里逻辑上最省的：被问的是「$b$ 的符号是否被逼死」， 那就只盯 $b$，反设一句、查两种重合方式，完事。
• 解法三给出充要条件，代价是四种情形逐个查。它多给的东西是真的多：题目改成 「求 $(a,b)$ 的取值范围」时，只有它交得出卷；而且它顺带解释了 A、B 为什么恰好一半对一半错。

三条路共用的那一步都是同一句：符号看零点与重数。差别只在「拿这句话去否选项、去反证、还是去解方程」。

避坑

• $ab\neq 0$ 删掉，这道题就没有正确选项。 若允许 $a=0$，取 $a=0$、$b=1$：三个零点是 $0$、$1$、$1$， $f(x)=x(x-1)^2$ 在 $x\geqslant 0$ 上非负 ✓，而 $b=1>0$——C 也倒了。若允许 $b=0$，取 $b=0$、$a=-1$： 零点是 $-1$、$0$、$-2$，$f(x)=(x+1)x(x+2)$ 在 $x\geqslant 0$ 上非负 ✓，$b=0$ 同样不满足「$b<0$」。 所以那三个字是题干里最该圈出来的部分，不是排除退化情形的客套话，而是让答案唯一的那一笔。
• 偶重零点不变号——漏掉这条，只会得到「三根全负」那一族。 只看到情形 1 的人会以为 「$a<0$ 且 $b<0$」就是全部答案，于是 A 和 C 同时「必然」，选项冲突时多半会挑 A。 选项 A 就是为这种漏解准备的：$b=-a$ 那一族恰好是 $a>0$ 的，专门用来否掉 A。
• 只代 $x=0$ 不够。 由 $f(0)\geqslant 0$ 得 $-ab(2a+b)\geqslant 0$，即 $ab(2a+b)\leqslant 0$—— 这是套路 代特殊值挤必要条件 的标准起手，官方解析也从这里进入，但它挤出来的网太大： 取 $a=-1$、$b=3$，则 $ab=-3$、$2a+b=1$，$ab(2a+b)=-3\leqslant 0$ 通过，可是 $f(x)=(x+1)(x-3)(x-1)$ 在 $x=2$ 处等于 $-3<0$，题设根本不成立，而这组的 $b=3>0$。 也就是说单靠 $x=0$ 这一个点否不掉 D，还得回到全轴的符号。这正是易错点 「必要条件当成充要条件」在本题的样子。
• 「最大的零点 $\leqslant 0$」是充分不必要的。 判据里那个字是「最大的奇重零点」。 把它记成「最大的零点」，情形 3 整族就丢了；反过来，把判据松成「有零点 $\leqslant 0$」又太弱 （$a=1$、$b=-3$ 时零点是 $1$、$-3$、$-1$，$f(0)=(-1)(3)(1)=-3<0$，不成立）。
• 别把「不必然」读成「不可能」。 B（$a>0$）在情形 3 的整族里都成立，它只是不总是成立。 四个选项问的是必要条件，不是「可能出现」；这两件事在含参判断题里天天被读混。
• 零点里带参数，「谁在左谁在右」本身要讨论。 本题三个零点 $a$、$b$、$2a+b$ 的大小顺序随 $(a,b)$ 变，所以标根图不是一张，而是每种情形各一张——解法三的四个情形就是这么来的。

收口

题面把三次式分解好了递到手上，就是在提示：别展开、别求导、别代数值，去看零点。 把「$x\geqslant 0$ 上恒成立」翻成「最大的奇重零点 $\leqslant 0$」之后，这道题只剩一件事—— 数一数三个零点能怎么重合。三种重合方式里两种被 $ab\neq 0$ 掐死，剩下的 $b=-a$ 一族撑起了整道题的 难度：它让 $a$ 可以为正，于是关于 $a$ 的两个选项一起作废，只剩 $b<0$。