浙江 2013 · 数学 q02

冷启动：三处要「读」，只有一处要「算」

$$S=\{x\mid x>-2\},\qquad T=\{x\mid x^{2}+3x-4\leq 0\},\qquad \text{求 }(\complement_{\mathbf{R}}S)\cup T .$$

这道题的动作很少，但读错任何一处，四个选项都有位置在等着你。先把三处读清楚：

1. 补集的全集是 $\mathbf{R}$。 符号 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 的下标写着 $\mathbf{R}$—— 「不在 $S$ 里」这句话是相对整条实数轴说的，不是相对 $T$、也不是相对某个别的范围。
2. 端点的开闭要翻一次。 $S$ 的条件是 $x>-2$，$-2$ 取不到； 于是补集的条件是 $x\leq-2$，$-2$ 取得到。开变闭、闭变开，这是补集的定义直接给的。 本题里这一翻不是装饰：它决定 $-2$ 到底算不算进最后的答案。
3. 最外层是并集，不是交集。 并集只会变大—— $(\complement_{\mathbf{R}}S)\cup T$ 必然把 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 的每一个数都装进去。 这句废话一样的性质，在第二条路里是把三个选项一次否掉的全部依据。

要算的只有一处：解一元二次不等式 $x^{2}+3x-4\leq 0$，得到 $T$ 到底是数轴上的哪一段。

两条路的分界就在这里：一条老老实实把三个集合都求出来再取并； 另一条一个集合都不求完，只挑一个数去验四个选项。

解法一：三个集合都画到同一条数轴上，逐段读

第一步：求 $\complement_{\mathbf{R}}S$

$$S=\{x\mid x>-2\}=(-2,+\infty) \quad\Longrightarrow\quad \complement_{\mathbf{R}}S=\{x\mid x\leq-2\}=(-\infty,-2] .$$

注意右端那个方括号。 $S$ 在 $-2$ 处是开的，补集在同一点就是闭的—— 「不在 $S$ 里」的数当然包括 $-2$ 本身，因为 $-2$ 不满足 $x>-2$。

第二步：解 $x^{2}+3x-4\leq 0$，求 $T$

先因式分解：

$$x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1) .$$

（怎么找的：要两个数相乘得 $-4$、相加得 $3$，那就是 $4$ 与 $-1$。）

两个根是 $-4$ 与 $1$。用穿根法读符号：把两根标在数轴上，最右一段为正， 往左每过一个单重根变一次号——

$$x>1\ \text{时正},\qquad -4<x<1\ \text{时负},\qquad x<-4\ \text{时正} .$$

要的是 $\leq 0$，所以取中间那一段，两个根本身也算（等号取得到）：

$$T=[-4,1] .$$

（懒得穿根也行：画一下 $y=(x+4)(x-1)$ 的图像——开口朝上、与横轴交于 $-4$ 与 $1$， 中间那一段落在横轴下方。两种说法是同一件事。）

第三步：取并——关键是看这两段有没有搭上

$$\complement_{\mathbf{R}}S=(-\infty,-2],\qquad T=[-4,1] .$$

并集不是把两段并排写出来就完事。 要先看它们在数轴上是分开的还是叠着的：

$$-4\ \leq\ -2\ \leq\ 1 ,$$

也就是说 $[-4,-2]$ 这一段同时属于两者。既然有公共部分，两段就连成了一整段； 左边那段一路通向 $-\infty$，右边那段最远伸到 $1$，于是

$$(\complement_{\mathbf{R}}S)\cup T=(-\infty,1] .$$ $$\boxed{(\complement_{\mathbf{R}}S)\cup T=(-\infty,1]\ \Rightarrow\ \text{选 C}}$$

右端点为什么由 $T$ 说了算：因为 $1>-2$，$T$ 比 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 往右伸得更远。 右端是闭的，因为 $T$ 在 $1$ 处是闭的（$x^{2}+3x-4\leq 0$ 里那个等号）。

解法二：不求并集，只挑一个数当探针

想法：并集只会变大

回到冷启动的第 3 条：

$$\complement_{\mathbf{R}}S\ \subseteq\ (\complement_{\mathbf{R}}S)\cup T .$$

于是只要一个数落在 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 里，它就一定在答案里—— 不必知道 $T$ 是什么，也不必真的把并集求出来。四个选项里凡是不含这个数的，当场出局。

挑哪个数最划算

四个选项一共只出现三个有限端点：$-4$、$-2$、$1$。它们把数轴切成四格：

$$(-\infty,-4),\qquad (-4,-2),\qquad (-2,1),\qquad (1,+\infty) .$$

同一格里的数，对四个选项的「属于/不属于」完全一样，所以每格挑一个代表就够了。 再加上「代表必须落在 $\complement_{\mathbf{R}}S=(-\infty,-2]$ 里」这个要求， $(-4,-2)$ 这一格最合适——取 $x=-3$。

（为什么不取 $-10$？它虽然也在 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 里，但它同时在 B 里， 只否得掉 A 与 D 两个。选代表要选落在端点之间那一格的，这样它才可能只被一个选项含住。）

验一次，三个选项一起倒

$-3\leq-2$，所以 $-3\in\complement_{\mathbf{R}}S$，因而 $-3$ 必在答案里。逐个看：

$$-3\notin(-2,1],\qquad -3\notin(-\infty,-4],\qquad -3\in(-\infty,1],\qquad -3\notin[1,+\infty) .$$

A、B、D 全部不含 $-3$，三个一起出局，只剩

$$\boxed{\text{选 C}}$$

全程没有解过那个二次不等式，也没有求过并集——四次「这个数在不在这个区间里」而已。

这条路的边界

它只在选择题里成立，因为它用掉了「正确答案就在四个选项中」这个前提。 填空题或解答题里，答案不在一张单子上，探针最多帮你排除自己写错的候选， 最后还是得走解法一。

四个选项各是什么

三个错误选项不是随便凑的数，每一个都对应一种具体的读错：

• A. $(-2,1]$ —— 它恰好是 $S\cap T$：$(-2,+\infty)\cap[-4,1]=(-2,1]$。 两处错法都落在这里：把 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 当成了 $S$，或者把 $\cup$ 读成了 $\cap$。
• B. $(-\infty,-4]$ —— 它比 $\complement_{\mathbf{R}}S=(-\infty,-2]$ 还小。 不必追究它是怎么算出来的：并集只会变大，任何比 $\complement_{\mathbf{R}}S$ 小的区间 都不可能是答案。这是一眼就能否掉的一个。
• D. $[1,+\infty)$ —— 把最后那个 $x\leq 1$ 的不等号方向抄反了。 顺带一说，$x\leq 1$ 的真补集是 $(1,+\infty)$（开的）， 而 D 是闭的——同一个端点在两种读法下开闭正相反，又一次踩在同一个坑上。

一句话带走

集合运算题的胜负手不在算，在读。 这道题只有一步真正的计算（解那个二次不等式）， 其余全是读符号：补集相对谁取、端点开闭翻没翻、最外层是并还是交。 读集合题的顺序应当是：先看在哪个全集里取补，再看端点，最后才动手解不等式。

而在数轴上把几段摆到一起之后，还有一条几乎免费的检查： 并集必须包含它每一个组成部分。 谁比零件还小，谁就出局—— 这一条不必算就能用，也正是第二条路的全部本钱。