浙江 2016 · 数学 q01

冷启动：三个记号先读对

题面给的是

$$P=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\leqslant x\leqslant 3\},\qquad Q=\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}\geqslant 4\},\qquad \text{求}\ P\cup\left(\complement_{\mathbb{R}}Q\right)$$

三件事要分清：

• $P$ 是直接给出来的，就是闭区间 $[1,3]$，不用算。
• $Q$ 是要解出来的。它不是一段区间，而是「满足 $x^{2}\geqslant4$ 的全部实数」， 长什么样得先解那个不等式。
• $\complement_{\mathbb{R}}Q$ 读作「$Q$ 在实数集里的补集」，意思是全体实数里不属于 $Q$ 的那些。 下标那个 $\mathbb{R}$ 是全集，少了它「补集」两个字没有意义。

最后那一步是取并：$P\cup\left(\complement_{\mathbb{R}}Q\right)$ 里的数， 只要至少落进其中一个就算数，不必两个都落进去。

四个选项都是区间，所以整道题就是「把这三个集合摆到同一条数轴上，读出最后那一条横杠的两个端点」。

解法一：数轴上正面走一遍

第一步：把 $Q$ 解出来

$$x^{2}\geqslant 4$$

不能两边直接开方写成 $x\geqslant2$。 开方要带绝对值：

$$x^{2}\geqslant 4 \iff \sqrt{x^{2}}\geqslant 2 \iff |x|\geqslant 2 \iff x\leqslant -2\ \text{或}\ x\geqslant 2$$

（$|x|$ 表示 $x$ 到原点的距离，「距离不小于 $2$」就是「在 $-2$ 左边或在 $2$ 右边」。）

于是

$$Q=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$$

两端都是闭的：$x=\pm2$ 时 $x^{2}=4\geqslant4$，等号成立，这两个点属于 $Q$。

第二步：取补集，端点的开闭要翻过来

$\complement_{\mathbb{R}}Q$ 是实数轴上挖掉 $Q$ 之后剩下的。$Q$ 占了两头，剩下的就是中间那一段：

$$\complement_{\mathbb{R}}Q=(-2,2)$$

两端必须是开的。 上一步刚验过 $2\in Q$，所以 $2\notin\complement_{\mathbb{R}}Q$； $-2$ 同理。方括号在这里一定要变成小括号——差的就是这两个点，而选项里正好有靠这两个点区分的。

换个写法也一样：$\complement_{\mathbb{R}}Q=\{x\mid x^{2}<4\}$， 注意 $\geqslant$ 的反面是 $<$（不是 $\leqslant$），解出来就是 $-2<x<2$。

第三步：取并——「至少落进一条」的那片

现在把两条摆到一起：

$$P=[1,3],\qquad \complement_{\mathbb{R}}Q=(-2,2)$$

它们有公共部分（$[1,2)$ 同时属于两边），所以并起来是连着的一条，不会断开。 连成的这一条，左端取两者中更靠左的，右端取两者中更靠右的：

• 左端：$-2$（来自 $\complement_{\mathbb{R}}Q$）。它在 $\complement_{\mathbb{R}}Q$ 里是开的， 而 $P$ 根本够不到那里，没人能把它补上，所以并集里它还是开的。
• 右端：$3$（来自 $P$）。它在 $P$ 里是闭的，所以并集里也是闭的。

$$P\cup\left(\complement_{\mathbb{R}}Q\right)=(-2,3]$$

端点的开闭这样逐个盯一遍，就不会在「$-2$ 到底取不取」上翻车。

第四步：对选项

$(-2,3]$ 与选项 B 的 $(-2,3]$ 完全一样，选 B。

顺手看看另外三个错在哪：

• A．$[2,3]$ 是 $P$ 与 $Q$ 的交，不是与补集的并——把两个运算都做反了。
• C．$[1,2)$ 是 $P$ 与 $\complement_{\mathbb{R}}Q$ 的交，运算做反了一个。
• D．$(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$ 是把补集当成了 $Q$ 本身（再与 $P$ 取并）——补集没取。

三个干扰项对应三种最常见的走神，都不是算错，而是读错了要做哪个运算。

解法二：找一个必在答案里的点，把选项一起划掉

四个选项都是具体的区间，题目又保证恰有一个正确。那就不必把答案整个算出来—— 只要找到一个必定属于答案的数，凡是不含它的选项就全错。

第一步：造一个「一定在答案里」的数

取 $x=0$。理由只有一行：

$$0^{2}=0<4 \quad\Longrightarrow\quad 0\notin Q \quad\Longrightarrow\quad 0\in\complement_{\mathbb{R}}Q$$

而 $\complement_{\mathbb{R}}Q$ 是并集的一部分（$\complement_{\mathbb{R}}Q\subseteq P\cup\complement_{\mathbb{R}}Q$）， 所以

$$0\in P\cup\left(\complement_{\mathbb{R}}Q\right)$$

注意这一步完全没有解不等式，只把 $0$ 代进去验了一次符号。

第二步：拿 $0$ 去量四个选项

一枪打掉三个。

第三步：只剩一个，就是它

A、C、D 都被 $0$ 否掉，四选一的题里只剩 B，选 B。

这不是碰运气。 $0$ 是挑出来的，挑的理由也很实在： 它落在 $\complement_{\mathbb{R}}Q=(-2,2)$ 的正当中，离 $P=[1,3]$ 又远。 凡是「只覆盖右半边」的选项（A、C 都是），以及「把补集当成 $Q$」的选项（D）， 在 $0$ 这里必然露馅。换句话说，挑测试点要挑在「两条路会分岔」的地方—— 分岔处才有鉴别力，随手代个 $x=2$ 就什么也筛不掉（A、B、D 都含 $2$）。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是完整的：它把 $P\cup\left(\complement_{\mathbb{R}}Q\right)$ 真的求了出来， 不依赖「四个选项里恰好有一个对」这个前提。填空题、解答题里只能这么做。

解法二只在选择题里成立，但它快得多，而且绕开了本题两个最容易错的地方： 不用开方（不会丢负半支），不用判端点开闭（$0$ 离所有端点都远）。 考场上先用它锁定答案，有时间再用解法一回验一遍，是最稳的组合。

两处翻车点值得单独记住：

1. $x^{2}\geqslant4$ 解成 $x\geqslant2$——丢了 $x\leqslant-2$ 那一半。 凡是从平方回到一次，先写绝对值。
2. 取补集时端点照抄——$Q$ 在 $\pm2$ 处闭，补集在那里就必须开。 验的办法是把端点代回原条件，看它到底属不属于 $Q$。