3.3 幂函数

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3.3 幂函数

前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质。本节我们利用这些知识研究一类新的函数。先看几个实例。

（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 $w$ kg，那么她需要支付 $p = w$ 元，这里 $p$ 是 $w$ 的函数；

（2）如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积 $S=a^{2}$ ，这里 S 是 a 的函数；

（3）如果立方体的棱长为 b，那么立方体的体积 $V=b^{3}$ ，这里 V 是 b 的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为 $S$ ，那么这个正方形的边长 $c = \sqrt{S}$ ，这里 $c$ 是 $S$ 的函数；

$\sqrt{S}$ 也可以表示为 $S^{\frac{1}{2}}$ .

（5）如果某人 $t$ s 内骑车行进了 $1\mathrm{km}$，那么他骑车的平均速度 $v = \frac{1}{t}\mathrm{km / s}$，即 $v = t^{-1}$，这里 $v$ 是 $t$ 的函数。

观察

观察（1）～（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？

实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2，3， $\frac{1}{2}$ ，-1；它们都是形如 $y=x^{\alpha}$ 的函数.

一般地，函数 $y = x^{\alpha}$ 叫做幂函数（power function），其中 $x$ 是自变量， $\alpha$ 是常数.

幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习.

对于幂函数，我们只研究 $\alpha = 1, 2, 3, \frac{1}{2}, -1$ 时的图象与性质.

思考

结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？

通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.

在同一坐标系中画出函数 $y = x$，$y = x^2$，$y = x^3$，$y = x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y = x^{-1}$ 的图象（图3.3-1）.

探究

观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表3.3-1内.

这些函数图象有公共点吗？

通过图 3.3-1 与表 3.3-1，我们得到：

(1) 函数 $y=x,\ y=x^{2},\ y=x^{3},\ y=x^{\frac{1}{2}}$ 和 $y=x^{-1}$ 的图象都通过点 (1, 1);

(2) 函数 y = x, $y = x^{3}$ , $y = x^{-1}$ 是奇函数，函数 $y = x^{2}$ 是偶函数；

（3）在区间 $(0, +\infty)$ 上，函数 $y = x$ ， $y = x^{2}$ ， $y = x^{3}$ ， $y = x^{\frac{1}{2}}$ 单调递增，函数 $y = x^{-1}$ 单调递减；

（4）在第一象限内，函数 $y=x^{-1}$ 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近.

例 证明幂函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 是增函数.

证明：函数的定义域是 $[0, +\infty)$ .

$\forall x_{1}, x_{2} \in [0, +\infty)$，且 $x_{1} < x_{2}$，有

$\begin{array}{r l} f (x _ {1}) - f (x _ {2}) & = \sqrt {x _ {1}} - \sqrt {x _ {2}} \\ & = \frac {(\sqrt {x _ {1}} - \sqrt {x _ {2}}) (\sqrt {x _ {1}} + \sqrt {x _ {2}})}{\sqrt {x _ {1}} + \sqrt {x _ {2}}} \\ & = \frac {x _ {1} - x _ {2}}{\sqrt {x _ {1}} + \sqrt {x _ {2}}}. \end{array}$

因为

$x _ {1} - x _ {2} < 0, \sqrt {x _ {1}} + \sqrt {x _ {2}} > 0,$

所以 $f(x_{1}) < f(x_{2})$ ，即幂函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 是增函数.

练习

1. 已知幂函数 $y = f(x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，求这个函数的解析式.

2. 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1) $(-1.5)^{3}, (-1.4)^{3}$; (2) $\frac{1}{-1.5}, \frac{1}{-1.4}$.

3. 根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数 $f(x) = x^3$ 的单调性，并判断其奇偶性.

习题3.3

复习巩固

1. 画出函数 $y = \sqrt{|x|}$ 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.

综合运用

2. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 v（单位： $cm^{3}/s$ ）与管道半径 r（单位：cm）的四次方成正比.

(1) 写出气体流量 v 关于管道半径 r 的函数解析式；

(2) 若气体在半径为 $3 \, cm$ 的管道中，流量为 $400 \, cm^{3}/s$ ，求该气体通过半径为 r 的管道时，其流量 v 的表达式；

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 $5\mathrm{cm}$ ，计算该气体的流量（精确到 $1\mathrm{cm}^3 /\mathrm{s})$

3. 试用描点法画出函数 $f(x) = x^{-2}$ 的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.

探究函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象与性质

在初中，我们知道 y=x 是正比例函数， $y=\frac{1}{x}$ 是反比例函数。学习了幂函数以后，我们知道它们都是幂函数。不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数。那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质？这些性质与这两个函数的性质有联系吗？

下面请同学们带着问题探究一下函数 $y=x+\frac{1}{x}$ .

1. 你认为可以从哪些方面研究这个函数？

2. 你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？

3. 按照你构建的路径研究你想到的问题.

4. 证明：当 $x > 0$ 时，$x + \frac{1}{x} \geqslant 2$，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$，即 $x = 1$ 时取得等号；当 $x < 0$ 时，$x + \frac{1}{x} \leqslant -2$，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$，即 $x = -1$ 时取得等号.

5. 你画出的函数图象与图1类似吗？

6. 函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象有什么变化趋势？你能利用函数 $y = x$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 的图象变化趋势说明函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的图象变化趋势吗？

7. 通过对函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 图象与性质的探究，你有哪些体会？