浙江 2009 · 数学 q08

冷启动：先数一数这个式子里有几个自由的字母

$$f(x)=1+a\sin ax .$$

看惯了 $y=A\sin\omega x$ 的人，第一反应是「振幅 $A$ 管上下、$\omega$ 管左右，两个旋钮各调各的」。这道题偏偏把两处都写成了同一个字母 $a$——自由度从 $2$ 掉到了 $1$。

一个参数，两种表现：

• 上下：$\sin$ 的取值在 $[-1,1]$，所以 $f(x)$ 的取值在 $\left[1-|a|,\ 1+|a|\right]$。曲线绕着中心线 $y=1$ 起伏，振幅是 $|a|$。
• 左右：$\sin ax$ 的最小正周期是 $T=\dfrac{2\pi}{|a|}$（$a\neq 0$）。

这两句话里出现的是同一个 $|a|$。把它们相乘，$a$ 当场消掉：

$$\boxed{\ \text{振幅}\times\text{周期}=|a|\cdot\frac{2\pi}{|a|}=2\pi\ }$$

一个大，另一个必定同比例地小。于是「又高又宽」的正弦曲线在这道题里根本不存在——这句话就是整道题。

四幅图给的是什么。 原卷四幅图共用一套坐标系：纵轴标出 $1$ 与 $2$ 两条横虚线，横轴标出 $\pi$ 与 $2\pi$ 两条竖虚线。这两组虚线不是装饰，它们是在把读数递到手里：

• 最高点在 $2$ 上方 $\iff 1+|a|>2\iff |a|>1$（振幅大）；最高点在 $2$ 下方就是 $|a|<1$；
• 最低点落到 $x$ 轴下方 $\iff 1-|a|<0\iff |a|>1$（与上一条说的是同一件事，互为印证）；
• 一个周期比 $2\pi$ 长 $\iff T>2\pi\iff |a|<1$；比 $2\pi$ 短就是 $|a|>1$。

把四幅图按这两项读一遍：

答案已经浮出来了。下面三条路把这件事各说死一遍。

解法一：振幅乘周期恒等于 $2\pi$——两个能量出来的数被同一个 $a$ 锁死

① 把两个量都写成 $|a|$ 的函数。 设 $a\neq 0$。

$$\text{振幅}=|a|,\qquad T=\frac{2\pi}{|a|} .$$

（后一句用的是：$\sin$ 本身以 $2\pi$ 为最小正周期，把自变量换成 $ax$ 相当于把横轴按 $|a|$ 压缩，周期跟着除以 $|a|$。要更稳妥可以直接验：$f\left(x+\frac{2\pi}{|a|}\right)=1+a\sin\left(ax\pm 2\pi\right)=f(x)$，且没有更小的正数做得到——这正是「最小正周期」的定义，$f$ 是一个周期函数。）

② 相乘，参数消失。

$$\text{振幅}\times T=|a|\cdot\frac{2\pi}{|a|}=2\pi .$$

右边不含 $a$。这意味着：在「横轴＝振幅、纵轴＝周期」的那张图上，所有可能的 $(|a|,T)$ 只能落在一条曲线上，而不是铺满整个平面。

③ 把四幅图翻译成这张图上的点。 两条虚线 $y=2$ 与 $x=2\pi$ 把平面切成四块：

• 左上（振幅 $<1$，周期 $>2\pi$）：曲线从这里穿过，住得下人 —— 对应 A；
• 右下（振幅 $>1$，周期 $<2\pi$）：曲线也从这里穿过 —— 对应 B；
• 右上（振幅 $>1$ 且 周期 $>2\pi$）：这一块里任何一点都满足 $\text{振幅}\times\text{周期}>1\times 2\pi=2\pi$，与恒等式 $=2\pi$ 直接冲突，曲线一寸也不进来 —— 这正是 D 要的位置；
• 左下（振幅 $<1$ 且周期 $<2\pi$）：乘积 $<2\pi$，同样是空的（四个选项里没有这一款，但它说明禁区是成对出现的）。

④ 别漏了 $a=0$。 此时 $f(x)=1+0=1$，图象是水平直线 $y=1$——C 那一幅。它不在这张「振幅—周期」图上（周期无从谈起），但它确确实实画得出来。

答案 D。

一句话记法：这道题的曲线，高的必窄、宽的必矮。D 想要「又高又宽」，没有这样的 $a$。

解法二：在图上量两次 $a$——两次读出的数打架，这幅图就不可能

解法一是从式子出发，正面推出禁区。反过来走也可以：假定某幅图是对的，从图上把 $a$ 解出来。式子里只有一个自由的字母，而图上能量出两个数，于是同一个 $a$ 会被解两次——两次的结果必须相同。

① 第一次量：看高度。 曲线的最高点是 $1+|a|$。图上画着 $y=2$ 这条虚线，于是

$$\text{最高点在 }2\text{ 上方}\iff 1+|a|>2\iff |a|>1 , \qquad \text{最高点在 }2\text{ 下方}\iff |a|<1 .$$

（图上还有一条等价的读法：最低点 $1-|a|$ 落没落到 $x$ 轴下方。两条读法必须给出同一个结论，正好互相校对。）

② 第二次量：看宽度。 一个周期是 $T=\dfrac{2\pi}{|a|}$。图上画着 $x=2\pi$ 这条虚线，于是

$$\text{一个周期长于}2\pi\iff \frac{2\pi}{|a|}>2\pi\iff |a|<1 , \qquad \text{短于}2\pi\iff |a|>1 .$$

③ 逐幅比。

• A：高度读出 $|a|<1$，宽度也读出 $|a|<1$。两次读出的范围指向同一批 $a$（例如 $a=\dfrac45$：振幅 $0.8<1$，周期 $\dfrac{2\pi}{0.8}=\dfrac{5\pi}{2}>2\pi$）。可能。
• B：高度读出 $|a|>1$，宽度也读出 $|a|>1$。取 $a=2$：振幅 $2>1$，周期 $\pi<2\pi$。可能。
• C：是一条直线，高度与宽度都给不出方程；单独试 $a=0$，$f(x)\equiv 1$，正是它。可能。
• D：高度读出 $|a|>1$，宽度读出 $|a|<1$。两个范围一个 $a$ 也兜不住——同一个 $a$ 不可能既大于 $1$ 又小于 $1$。不可能。

答案 D。

这条路的好处是不用猜「该用哪条性质」。 正面刷选项时，得先想清楚哪条性质能把四幅图分开，猜错就白算一轮。反解则不用猜：图上量得出的任意两个量都能各解一次 $a$，一旦打架就是硬矛盾，不存在「这条性质刷不动」的情形。代价是要认准「只有一个自由参数」这个前提——若题目写的是 $A\sin\omega x$（两个字母），两个方程解两个未知数，通常总有解，这条路就刷不掉任何选项了。

解法三：按 $a$ 分档，把画得出来的图象列全

前两条都是「证明 D 不行」。还有一条更彻底的走法：把所有画得出来的图象一次列全，然后看 D 在不在名单上。$f$ 的形状只由一个 $a$ 决定，所以按 $|a|$ 与 $1$ 的大小分档就能穷尽。

第 ① 档：$a=0$。 $f(x)=1$。图象是水平直线 $y=1$——C。

第 ② 档：$0<|a|<1$。 振幅 $|a|<1$，所以

$$1-|a|>0,\qquad 1+|a|<2 ,$$

曲线整个夹在 $x$ 轴上方、$y=2$ 下方；而周期 $T=\dfrac{2\pi}{|a|}>2\pi$，一个完整的起伏比 $2\pi$ 还要宽。又矮又宽——A。

第 ③ 档：$|a|=1$。 振幅恰为 $1$，最高点正好压在 $y=2$ 上、最低点正好压在 $x$ 轴上；周期恰为 $2\pi$。这是唯一的临界形状（$a=1$ 与 $a=-1$ 只差一个左右翻转）。四幅图里没有它。

第 ④ 档：$|a|>1$。 振幅 $|a|>1$，最高点越过 $y=2$、最低点跌到 $x$ 轴下方；周期 $T=\dfrac{2\pi}{|a|}<2\pi$，起伏挤得比 $2\pi$ 还密。又高又窄——B。

四档穷尽了 $a$ 的所有取值，产出的图象只有直线、又矮又宽、临界、又高又窄这四种形状。$|a|$ 一变大，曲线就同时「长高」和「变窄」，两件事同向发生、无法拆开。

D 要的是「长高了却又变宽」——它不在名单上。

答案 D。

这一档一档地排还顺手回答了另一个问题：为什么出题人敢把 C 放进去。 一条水平直线看起来「太简单了，不像是正弦曲线」，很容易被当成那个不可能的答案。但 $a=0$ 是货真价实的实数（题面第一句就写着「$a$ 是实数」），$f(x)=1+0\cdot\sin 0=1$，图象就是直线。凡是把参数默认成非零的人，都会在这里把 C 错选掉——先把 $a=0$ 单列一档，就绕开了这个坑。