振幅和周期当成两个独立的参数

错在哪

看惯了 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$，容易形成一个印象：振幅管上下、频率管左右，两个旋钮互不干涉。在那个式子里这是对的，$A$ 与 $\omega$ 确实是两个自由的字母。

可题目常常把它们写成同一个字母：$a\sin ax$、$k\cos kx$、$\frac{1}{n}\sin nx$。这时自由度从 $2$ 掉到了 $1$——振幅与周期各自是这一个参数的函数，两者之间必然存在一条恒等式。$a\sin ax$ 的那条是

也就是说一个变大，另一个必定同比例变小。图上「又高又宽」或者「又矮又窄」的那种曲线，一条都画不出来。

判断题、选图题里那个「不可能」的选项，往往就摆在这条恒等式的禁区里。

翻车现场

2009 年浙江卷（理）第 8 题：$f(x)=1+a\sin ax$，问哪一幅图象不可能。四幅图共用一套坐标系，横轴标出 $\pi$、$2\pi$，纵轴标出 $1$、$2$。

• A：最高点低于 $2$（即 $1+|a|<2$，$|a|<1$），一个周期长于 $2\pi$。恒等式要求 $|a|<1\Rightarrow T=\frac{2\pi}{|a|}>2\pi$——对得上，画得出来（取 $a=\frac45$）。
• B：最高点高于 $2$（$|a|>1$），一个周期短于 $2\pi$。同样对得上（取 $a=2$）。
• C：水平直线 $y=1$。取 $a=0$ 即可。
• D：最高点高于 $2$（$|a|>1$），可一个周期也长于 $2\pi$。两头都大，乘起来超过 $2\pi$，与恒等式冲突——这一幅画不出来。

按「振幅和周期各调各的」去想，D 看上去毫无问题：无非是一条又高又缓的正弦曲线。错就错在 $a$ 只有一个。

怎么防

• 先数自由度：式子里出现了几个互相独立的字母？只有一个，就必然有一条把各项性质绑起来的恒等式，先把它写出来。
• 把两个可读的量相乘（或相除）看看：振幅 $\times$ 周期、最大值 $\times$ 零点间距……凑出一个与参数无关的常数，禁区立刻显形。
• 图上先量、后算：从一幅图里能量出两个数（高度与宽度），各自反解一次参数；两次解出的值必须相同。对不上就是这幅图不可能。
• 别忘了参数取 $0$ 的退化情形：$a=0$ 时曲线塌成一条直线，它往往就是某一个看起来「太简单所以不像答案」的选项。