取小函数的分段与最值

题型说明

• 常见问法：「已知 $a\geqslant 3$，$F(x)=\min\{2|x-1|,\ x^{2}-2ax+4a-2\}$。 （Ⅰ）求使 $F(x)=x^{2}-2ax+4a-2$ 成立的 $x$ 的范围；（Ⅱ）求 $F$ 的最小值与它在 $[0,6]$ 上的最大值。」 多为解答题的第三题，带参数，$15$ 分。
• 骨架就一句：$F$ 的图象是两条曲线「取下面那条」。 所有问题都能翻译成「两支谁大谁小」，也就是解一个不等式 $g\leqslant f$。
• 三个问的性质完全不同，别混着做：
  1. 「$F=g$ 的范围」问的是两支的比较；
  2. 「$F$ 的最小值」是全局的，可以绕过分段：$\min_x F=\min\{\min_x f,\ \min_x g\}$；
  3. 「$F$ 在闭区间上的最大值」不能这样绕，必须知道区间上 $F$ 到底是哪一支。

固定动作

1. 作差：$g-f$，按绝对值的分界点拆段去掉绝对值，每段化成二次式再因式分解。 得到 $g\leqslant f$ 的解集，这就是 $F=g$ 的那一段。 端点是闭的：两支相等时函数值相同，等式照样成立。

2. 写出 $F$ 的显式分段式（求区间最大值时非写不可）。

3. 最小值走「取小的最小」：

   $$\min_{x} F=\min\Big\{\min_{x}f,\ \ \min_{x}g\Big\} .$$

   理由：$F\leqslant f$ 且 $F\leqslant g$，故 $\min F\leqslant$ 右边； 而右边那个较小的最小值在它自己的最小点处被 $F$ 取到。这一步与分段无关，最省事。

4. 区间最大值分两段各自算。或者用官方的放缩写法： 在 $F=f$ 的那段用 $F\leqslant f\leqslant\max\{$ 两端点 $\}$， 在 $F=g$ 的那段用 $F\leqslant g\leqslant\max\{$ 两端点 $\}$， 最后必须指出上界被取到，否则只是个估计。

5. 参数的分界点单独解。上例里两处分界：$-a^{2}+4a-2=0$ 定 $m(a)$ 的分段， $34-8a=2$ 定 $M(a)$ 的分段。

为什么最小值可以绕过分段，最大值不行

$F=\min\{f,g\}$ 处处不超过两支，所以它的最小值不会比「两支的最小值中较小的那个」更大； 反过来，那个较小的最小值在对应的最小点上恰好就是 $F$ 的值。两头一夹，等号成立。

最大值没有这个便利：$\max F\leqslant\min\{\max f,\ \max g\}$ 一般是严格的， 因为 $F$ 在每一点都被压低了。所以求最大值只能老实分段。

常见失手

• 端点开闭写反。两支相等处等式成立，第（Ⅰ）问的答案是闭区间。
• 把区间最大值也套「取小的最大」，得到一个根本达不到的数。
• 忘了参数范围保证的包含关系。上例里 $a\geqslant 3$ 才有 $2a\geqslant 6$， 也才能说 $[2,6]$ 整段都在 $F=g$ 的那一段里。
• 放缩之后不验等号，答案只是上界。