把递推看成函数迭代

解题套路

递推 $a_{n+1}=\varphi(a_{n})$ 说的是：每一步都在对上一项做同一件事。 那件事是什么，全写在 $\varphi$ 里。于是整条数列的走向不用逐项去猜，看 $\varphi$ 就够：

1. 解出 $\varphi$。 递推若是隐式给的（一个关于 $a_{n+1}$ 的方程），先解出非负根、 写成 $a_{n+1}=\varphi(a_{n})$ 的样子。
2. 看 $\varphi$ 的单调性。 $\varphi$ 在所涉区间上递增时， $a_{1}<a_{2}$ 就能一路传下去：$a_{n}<a_{n+1}\Rightarrow \varphi(a_{n})<\varphi(a_{n+1})$， 即 $a_{n+1}<a_{n+2}$——单调性只要验一次首步。（$\varphi$ 递减时数列不单调，而是两支交错。）
3. 看 $\varphi(t)-t$ 的符号。 这个差是「这一步往上走还是往下走」。 它在某段上恒正，数列在那段上就一路上升。
4. 解 $\varphi(t)=t$。 根就是不动点：数列一旦碰到它就再也不动了。 若 $\varphi$ 递增、$\varphi$ 把某区间 $[m,c)$ 映进自身、且在这段上 $\varphi(t)>t$， 那么从这段里出发的数列严格递增且始终小于 $c$——单调性与上界一次拿到。

为什么好用

逐项归纳每次只能证一句话（「单调」或「有界」），且每问都要重来一遍； 而 $\varphi$ 的单调性 + 自映 + $\varphi(t)>t$ 这三件事一次验完，两个结论一起出来。 更要紧的是，不动点把「这条数列最终顶到哪里」摆到了明处—— 后面要放缩时，那道墙的位置就是你能用的最紧的界。

用不上的时候

• 递推里显式含 $n$（如 $a_{n+1}=\varphi(a_{n})+n$），每步做的不是同一件事，$\varphi$ 的图像说明不了问题；
• 递推要用到两项以上（如 $a_{n+2}=\varphi(a_{n+1},a_{n})$）。