冷启动：先给函数建档
假设你刚学导数与单调性。f(x)=(x−1)2(x−4)，展开是 x3−6x2+9x−4——一个三次函数。四个选项各问一件事，但全都绕不开这份「档案」：
- f(1)=0，f(3)=−4；
- f 在 (−∞,1) 上增、(1,3) 上减、(3,+∞) 上增（下面两条路各证一遍）。
四个选项：A 问 x=3 是不是极小值点，B 问在 0<x<1 上 f(x) 与 f(x2) 谁大，C 问 1<x<2 时 f(2x−1) 的范围，D 问 −1<x<0 时 f(2−x) 与 f(x) 谁大。逐项独立判——多选题没有「选一个就走」。
解法一：导数定调逐项判
怎么想到的。 函数给得这么具体，最通用的建档工具就是导数：f′ 的正负直接给出增减分段，四个选项全都能在这张分段表上读出来。
① 求导定分段。
f′(x)=2(x−1)(x−4)+(x−1)2=(x−1)(2(x−4)+(x−1))=3(x−1)(x−3)
驻点 x=1、x=3。读符号：x<1 时 f′>0（增）；1<x<3 时 f′<0（减）；x>3 时 f′>0（增）。
② 逐项判。
- A：x=3 处左减右增，是极小值点。对（极小值点是 x=3；极小值是 f(3)=−4——「点答 x，值答 y」，易错点「极值点与极值混用」说的就是这对）。
- B：0<x<1 时 x2<x（x2 比自己小），而 x2 与 x 都落在增段 (0,1) 里，增段上自变量小则函数值小：f(x2)<f(x)。B 说反了，错。
- C：1<x<2 时 2x−1∈(1,3)，落在减段上，故 f(3)<f(2x−1)<f(1)，即 −4<f(2x−1)<0。对。
- D：−1<x<0 时，f(x) 在增段上、x<0，故 f(x)<f(0)=−4；而 2−x∈(2,3) 落在减段上、2−x<3，故 f(2−x)>f(3)=−4。一拼：f(2−x)>−4>f(x)。对。
故选 ACD。
解法二：作差配方逐项判
怎么想到的。 这条路不碰导数——要证「谁比谁大」，直接作差、因式分解、逐因子定号。三次函数的好处是这些差全都拆得开。这就是作差定号。
A：证 x=3 是极小值点，即证在 3 附近 f(x)≥f(3)：
f(x)−f(3)=x3−6x2+9x−4−(−4)=x3−6x2+9x=x(x−3)2
x>0 时 x(x−3)2≥0，等号仅在 x=3 成立——3 附近的函数值都不低于 f(3)。A 对（顺带：x=3 还是 (0,+∞) 上的最小值点）。
B：用一般作差式 f(u)−f(v)=(u−v)(u2+uv+v2−6(u+v)+9)。括号关于 u,v 都递减，最小值在 u=v=1 处取 0，故在 (0,1) 上括号严格为正——即 f 在 (0,1) 上增。于是 x2<x 给出 f(x2)<f(x)。B 错（与解法一同一句结论，这里用它自己的作差证出）。
C：先代进去再拆。f(2x−1)=(2x−2)2(2x−5)=4(x−1)2(2x−5)，在 (1,2) 上 (x−1)2>0、2x−5<0，故
f(2x−1)<0
再看与 −4 的差：
f(2x−1)+4=4(x−1)2(2x−5)+4=4(x−2)2(2x−1)>0
（展开两边都是 8x3−36x2+48x−16，恒等。）故 f(2x−1)>−4。C 对。
D：直接作差：
f(2−x)−f(x)=(1−x)2(−2−x)−(x−1)2(x−4)=(x−1)2((−2−x)−(x−4))=2(x−1)2(1−x)
在 (−1,0) 上 (x−1)2>0、1−x>0，故 f(2−x)−f(x)>0。D 对。
故选 ACD。
这两条路差在哪。 解法一花一次求导，换来整张增减分段表，四个选项全在上面读——判「趋势」它最快。解法二不求导，把每个选项变成一次作差分解——判「两点谁大」它常常更短（A 的那个 x(x−3)2 就是一击）。考场上的实际顺序是：解法一建档，解法二里那几手分解当验算——尤其是 C 的 4(x−2)2(2x−1)，值得亲手拆一遍。
🕳️ 避坑
- A 的说法是「极小值点」：答 x=3 对，答 −4 错——「点答 x，值答 y」。
- B 的方向别拧：0<x<1 时是 x2<x（不是 x2>x），增段上自变量小函数值就小。
- C 的区间是开的：x=2 时 f(2x−1)=f(3)=−4 恰好顶到下界——开区间救了它，闭区间就错。
- D 别急着代值试：x=−0.5 碰巧 f(2.5)>f(−0.5) 不代表全区间成立——要判的是整段，作差或单调性才有管辖权。
