等分点上的差分绝对值和

题型说明

• 常见问法：把 $[a,b]$ 等分成 $N$ 份得到分点 $a_0,a_1,\dots,a_N$，记 $I=\sum_{i=1}^{N}\left|f(a_i)-f(a_{i-1})\right|$，给出几个函数，问它们的 $I$ 谁大谁小。
• 主线：
  1. 认清对象。$I$ 不是面积、不是弧长，是一支笔沿折线走一趟时上下移动的总距离。 （去掉绝对值，和就望远镜相消成 $f(b)-f(a)$，与形状无关——绝对值正是让形状说话的那一步。）
  2. 分段单调。节点值单调的一段里，$|\Delta|$ 全同号，求和望远镜相消，只剩这一段两端之差。 于是 $I=\sum_{\text{各单调段}}|\,\text{段两端函数值之差}\,|$。
  3. 找折返的节点。切口要落在节点上，不是落在真正的极值点上——两者常常不重合。
• 一条现成结论：$f$ 在 $[a,b]$ 上单调 $\Rightarrow$ $I=|f(b)-f(a)|$，与 $N$、与分点位置全无关。 这条最省事，往往用来当比较的基准。

常见陷阱

• 默认极值点就是分点，把 $I$ 直接写成「峰谷落差之和」。$N$ 除不尽时真实值严格更小。
• 只算出一个上界就断言它比另一个数大——上界大于 $c$ 推不出原量大于 $c$，方向反了。
• 把 $I$ 当成定积分或曲线长度去估；$N$ 有限时它既不是面积也不是弧长。