分段函数的单调性

题型说明

• 常见问法：分段函数（分界点两侧各一个解析式，其中一段或两段含参数）在 $\mathbf R$ 上单调递增（减），求参数范围。
• 关键动作：列三个条件——左段增、右段增、分界处左段的上确界不超过右段端点值（递增时；递减全反）。三个都满足才够。
• 判每段的单调：二次段看图象（开口 + 对称轴位置），超越段（$e^x$、$\ln$、三角）用导数或「增 + 增 = 增」。

常见陷阱

• 只验两段各自单调就下结论——漏掉分界处的比较，参数范围会多收一半（详见易错点「分段单调漏验分界点」）。
• 分界处写成严格小于：左段在分界点不取值时，左极限等于右端点值仍然成立（等号要收）。
• 对称轴不等式的方向解反：$-\frac{b}{2a}\ge 0$ 与 $a\le 0$ 之间的符号链条，一步错范围全反。