逐次求导定符号

解题套路

要证的不等式移项成 $F(x)\geqslant0$（$x\in[0,b]$），而恰好 $F(0)=0$。这时别去求 $F$ 的最值，去看导数：

1. 求 $F'$。若 $F'\geqslant0$ 于 $[0,b]$，则 $F$ 递增，$F\geqslant F(0)=0$，完。
2. 若 $F'(0)$ 也等于 $0$（指数/对数的题里几乎总是如此），把 $F'$ 当成新的 $F$，回到第 1 步——看 $F''$。
3. 直到某一阶导的符号一眼可判（$F'''=e^{x}>0$ 这种），再沿着刚才下来的路一层层回推：

每一层都要有一个「起点值为 $0$」的钉子——回推靠的就是它。$F^{(k-1)}(0)\neq0$ 时这条链在那一层断掉，得改用别的办法（见下节）。

它证出来的那一族不等式

$e^{x}$ 与它的泰勒多项式之间的关系，全部由这条套路一次一次证出来：

以第二条为例：$F(x)=e^{x}-1-x-\dfrac{x^{2}}{2}$，$F(0)=0$；$F'(x)=e^{x}-1-x$，$F'(0)=0$；$F''(x)=e^{x}-1\geqslant0$（$x\geqslant0$）。回推两层即得。

阶数越高越紧，但也越难往回化。选哪一条看目标：目标里出现 $x^{2}$ 就取到二次，只出现一次项就用切线那条。

导数不定号时的备用招：两端夹

第 1 步里 $F'$ 的符号常常不是恒定的——典型是 $F'$ 先减后增（$F''$ 只变一次号）。这时不必解 $F'=0$：

于是只要两个端点值都 $\leqslant0$，整段就有 $F'\leqslant0$。反过来（先增后减）就用 $\min\{F'(0),F'(b)\}\geqslant0$。

这一招把「解一个超越方程找极值点」换成「算两个端点」，是这类题里最省事的一步。端点 $b$ 常常不是给定的数，而是题里那个说不出值的量（比如某个零点 $t$）——这时端点值靠它满足的方程化简：$e^{t}=t+2$ 让 $F'(t)=e^{t}-1-2t$ 一步变成 $1-t$，符号立刻可判。

自检

• 区间写了吗：$e^{x}\geqslant1+x+\dfrac{x^{2}}{2}$ 只在 $x\geqslant0$ 上成立（$x=-3$ 时右边 $2.5$、左边 $0.05$，反了）。逐次回推用的是「从 $0$ 往右递增」，往左的一侧要另说。
• 回推的每一层都有起点钉子吗：$F^{(k-1)}(0)=0$ 缺一层，链条就断在那里。
• 方向别反：证 $F\geqslant0$ 要的是 $F$ 递增；若求出来 $F$ 递减，得到的是 $F\leqslant F(0)=0$，那是反向的不等式——这时该做的是把原不等式两边对调再看一遍，而不是把结论硬写成想要的那个。