根式换元去掉根号

解题套路

1. 设 $t$ 为整块根式：$t=\sqrt{g(x)}$，于是 $t\geqslant 0$。
2. 反解原变量：从 $t^2=g(x)$ 把 $x$ 解出来。$g$ 是一次式时 $x$ 是 $t$ 的二次多项式，最干净。
3. 求出 $t$ 的取值范围：$x$ 跑遍原定义域时 $t$ 跑遍哪一段？这一步不能省—— 丢了范围，后面算出来的值域会偏大。
4. 在 $t$ 上做题：新式子没有根号，求导、配方、判单调都容易得多。

它最值钱的地方：配方常常自己冒出来

根式换元之后，原来看不出结构的式子经常变成一个完全平方。例如

右边一眼就能读出 $\geqslant 0$、且只在 $t=1$（即 $x=1$）处取等—— 而在原式上要证同一件事，得先把 $x\geqslant\sqrt{2x-1}$ 两边平方再配方。

常见失手

• 忘了 $t\geqslant 0$：反解时把 $t$ 的两个符号都带上，凭空多出一半解。
• 新变量的范围没搬过来：见 换元后漏掉新变量的取值范围。
• 换元后忘了换回去：问的是 $x$ 的取值时，答案要从 $t$ 折回 $x$； 问的是函数值时则不必——值域在换元下是不变的。