二次函数在闭区间上的最值

题型说明

• 常见问法：「函数 $f(x)=x^{2}+ax+b$ 在区间 $[m,n]$ 上的最大值是 $M$、最小值是 $m$，则……（　）」， 或直接「求 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 上的最值」「已知最值求参数」。
• 与「求二次函数的最值」不同的一点是区间是闭的、而且是给死的：抛物线的顶点未必在这段区间里， 所以不能上来就把顶点当最小值。

怎么做

一句话：先把对称轴找出来，再看它站在区间的左边、里边、还是右边。

1. 定开口与对称轴。$f(x)=Ax^{2}+Bx+C$ 配方成 $A\left(x-x_{0}\right)^{2}+k$， $x_{0}=-\dfrac{B}{2A}$ 就是对称轴（见配方读顶点）。

2. 按 $x_{0}$ 与区间 $[m,n]$ 的位置关系分类（以开口向上为例）：

   $x_{0}$ 的位置	函数在 $[m,n]$ 上	最小值	最大值
   $x_{0}\le m$（轴在左）	单调递增	$f(m)$	$f(n)$
   $m<x_{0}<n$（轴在内）	先减后增	$f(x_{0})$	$f(m)$ 与 $f(n)$ 里大的那个
   $x_{0}\ge n$（轴在右）	单调递减	$f(n)$	$f(m)$

3. 轴在区间内时，最大值还要再分一次：比 $f(m)$ 与 $f(n)$ 谁大，等价于比 $x_{0}$ 与区间中点谁大—— 离对称轴越远的那个端点越高。

4. 开口向下时把上表的「最大」「最小」整个对调即可，分类的切点一个不变。

分类必须穷尽。 三段（轴在左 / 轴在内 / 轴在右）合起来正好覆盖全体实数， 再加上第 3 步那次二分，一共四种情形——漏掉任何一种，结论就只在你想到的那几种参数下成立。

用在本题

浙江 2017 第 5 题给的是 $f(x)=x^{2}+ax+b$ 与区间 $[0,1]$，问 $M-m$ 与 $a$、$b$ 各有没有关系。 按上面的四类算完，四个式子分别是 $1+a$、$\left(1+\dfrac a2\right)^{2}$、$\dfrac{a^{2}}{4}$、$-1-a$—— 每一个都带 $a$、每一个都不带 $b$，于是答案是「与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关」。