浙江 2008 · 数学 q15

冷启动：绝对值里面那个函数，才是这道题真正的主角

题面：$t$ 为常数，$y=\left|x^{2}-2x-t\right|$ 在 $[0,3]$ 上的最大值为 $2$，求 $t$。

第一件事：给里面那个函数起个名字。 记

$$g(x)=x^{2}-2x-t=(x-1)^{2}-1-t$$

题目问的是 $\left|g\right|$ 的最大值，而 $\left|g\right|$ 的一切信息都藏在 $g$ 的值域里—— 这是本题的总枢纽：

$$\max_{[0,3]}\left|g\right|=\max\left\{\left|m\right|,\ \left|M\right|\right\}, \qquad\text{其中 }[m,M]=g\!\left([0,3]\right)$$

（$\left|\cdot\right|$ 在一段数值区间 $[m,M]$ 上的最大值，就是两端点的绝对值里大的那个： 中间的数离 $0$ 都不会比两端更远。）

第二件事：$t$ 只是把这条二次曲线上下平移。 $g(x)=(x-1)^{2}-1-t$ 的开口、对称轴都与 $t$ 无关， $t$ 变大只是整条曲线往下掉。所以 $g$ 在 $[0,3]$ 上的值域永远是同样长的一段，只是位置在动：

$$m=g(1)=-1-t,\qquad M=g(3)=3-t,\qquad M-m=4$$

（对称轴 $x=1$ 落在 $[0,3]$ 里，故最小值在顶点取到；两个端点 $g(0)=-t$ 与 $g(3)=3-t$ 里 后者更大，故最大值在 $x=3$ 取到。）这段长度 $4$ 与 $t$ 无关，是下面三条路共同的支点。

第三件事：题目给的是一个等号，不是一个不等号。 「最大值为 $2$」既要求 $\left|g\right|\leqslant2$ 处处成立， 又要求 $2$ 这个值真的被取到。只用前一半会解出一个范围，只用后一半会解出一堆候选—— 两半都要，答案才唯一。

解法一：先把 $x^{2}-2x-t$ 的值域求出来，再取绝对值

怎么想到的。 绝对值不好直接求最值，但它只是把数轴上的点折到原点右边—— 先算清楚里面那个函数的值域，剩下的就是比两个数谁大。

① 配方，定对称轴。 $g(x)=x^{2}-2x-t=(x-1)^{2}-1-t$，开口向上，对称轴 $x=1$。 $1\in[0,3]$，所以 $g$ 在 $[0,1]$ 上递减、在 $[1,3]$ 上递增。

② 值域。 最小值在顶点：$g(1)=-1-t$。最大值在离对称轴较远的那个端点： $\left|3-1\right|=2>\left|0-1\right|=1$，故在 $x=3$ 处，$g(3)=3-t$。（核对一下：$g(0)=-t<3-t$ ✓。） $g$ 连续，于是

$$g\!\left([0,3]\right)=\left[-1-t,\ 3-t\right]$$

③ 取绝对值：只剩两个数在比。

$$\max_{[0,3]}\left|g\right|=\max\left\{\left|-1-t\right|,\ \left|3-t\right|\right\} =\max\left\{\left|t+1\right|,\ \left|t-3\right|\right\}$$

④ 令它等于 $2$，两支各解一次。

$$\left|t+1\right|=2\ \Longrightarrow\ t=1\ \text{或}\ t=-3; \qquad \left|t-3\right|=2\ \Longrightarrow\ t=1\ \text{或}\ t=5$$

⑤ 每个候选都回代——这一步不能省。 上面两行给的都只是必要条件 （「某一支等于 $2$」不等于「两支的较大者等于 $2$」）：

| $t$ | $\left|t+1\right|$ | $\left|t-3\right|$ | 较大者 | 判 | | --- | --- | --- | --- | --- | | $-3$ | $2$ | $6$ | $6$ | ✗ | | $1$ | $2$ | $2$ | $2$ | ✓ | | $5$ | $6$ | $2$ | $6$ | ✗ |

只有 $t=1$ 活下来。答案 $t=1$。

⑥ 顺带看一眼 $t=1$ 长什么样。 $g(x)=x^{2}-2x-1$，$g(1)=-2$、$g(3)=2$—— 值域正好是 $[-2,2]$，两头同时顶到边界。这个「两头同时顶到」不是巧合，下一条解法会说明为什么它是必然的。

解法二：拆成「$-2\leqslant g\leqslant 2$ 恒成立」，两个不等式方向相反，把 $t$ 夹死

怎么想到的。 「最大值为 $2$」这句话里其实有两句话：谁也别超过 $2$（一个恒成立条件）， 外加有人恰好等于 $2$。恒成立条件对参数是单向的挤压，两边一起挤，往往就把参数挤成一个点。

① 还是先把值域拿到手。 $g(x)=x^{2}-2x-t=(x-1)^{2}-1-t$，开口向上、对称轴 $x=1\in[0,3]$， 故在 $[0,3]$ 上先减后增，最小值 $g(1)=-1-t$、最大值 $g(3)=3-t$（$g(3)-g(0)=3>0$，右端点更高）， 且 $g$ 连续，值域是整段 $\left[-1-t,\ 3-t\right]$。

② 第一句话：$\left|g(x)\right|\leqslant 2$ 在 $[0,3]$ 上恒成立。 它等价于 $-2\leqslant g(x)\leqslant 2$ 处处成立， 而「处处」只需卡住值域的两端：

$$-2\leqslant -1-t \quad\text{且}\quad 3-t\leqslant 2$$

③ 两个不等式，方向相反。 第一个给 $t\leqslant 1$，第二个给 $t\geqslant 1$：

$$-2\leqslant-1-t\ \Longleftrightarrow\ t\leqslant 1, \qquad 3-t\leqslant 2\ \Longleftrightarrow\ t\geqslant 1$$

两条合起来只剩 $t=1$。连方程都没解，$t$ 已经被夹死。

④ 第二句话：验等号确实取到。 $t=1$ 时 $g(1)=-2$、$g(3)=2$， $\left|g(1)\right|=\left|g(3)\right|=2$——最大值确实等于 $2$，不是「不超过 $2$」。 （这一步必须做：第 ② 步只保证了 $\leqslant 2$。）

⑤ 结论。 $t=1$。

⑥ 为什么两个不等式恰好在同一点相接？ 因为值域的长度是 $3-t-(-1-t)=4$，与 $t$ 无关； 而带子 $[-2,2]$ 的宽度也正好是 $4$。一段长 $4$ 的区间要塞进一条宽 $4$ 的带子，只有一种塞法： 严丝合缝。题目里的 $2$ 与区间 $[0,3]$ 是配好的——这也是下一条解法的全部内容。

解法三：不解方程：高度差恒为 $4$，先给出「最大值 $\geqslant 2$」的下界，再看等号

怎么想到的。 前两条路都先定值域再算。但注意：值域的两端之差与 $t$ 无关。 一个长度固定的区间，无论摆在哪儿，总有一端离原点不近——这就给出一个与 $t$ 无关的下界， 剩下的只是问「这个下界什么时候被摸到」。

① 记两端。 $g(x)=(x-1)^{2}-1-t$ 开口向上、对称轴 $x=1\in[0,3]$， 故 $[0,3]$ 上 $g$ 的最小值 $A=g(1)=-1-t$、最大值 $B=g(3)=3-t$（$g(3)>g(0)=-t$），值域为 $[A,B]$。关键是

$$B-A=(3-t)-(-1-t)=4\qquad(\text{$t$ 被消掉了})$$

② 最大者不小于平均数。 $\max_{[0,3]}\left|g\right|=\max\left\{\left|A\right|,\left|B\right|\right\}$，而两个数里大的那个不小于它们的平均：

$$\max\left\{\left|A\right|,\left|B\right|\right\}\geqslant\frac{\left|A\right|+\left|B\right|}{2}$$

③ 把 $\left|A\right|+\left|B\right|$ 换成和差里大的那个。 对任意实数恒有 $\left|A\right|+\left|B\right|=\max\left\{\left|A+B\right|,\ \left|A-B\right|\right\}$ （同号那侧由 $\left|A+B\right|$ 取到、异号那侧由 $\left|A-B\right|$ 取到），于是

$$\left|A\right|+\left|B\right|\geqslant\left|A-B\right|=4 \quad\Longrightarrow\quad \max_{[0,3]}\left|g\right|\geqslant\frac{4}{2}=2$$

这一步没有用到 $t$：不管 $t$ 是多少，最大值都不可能小于 $2$。

④ 等号什么时候成立。 上面用了两个不等号，要它们同时取等：

• ② 取等 $\Longleftrightarrow$ $\left|A\right|=\left|B\right|$；
• ③ 取等 $\Longleftrightarrow$ $\left|A\right|+\left|B\right|=\left|A-B\right|$，即 $A$、$B$ 异号（或有一个为 $0$）。

两条合起来：$A=-2$、$B=2$（$A<B$ 已知）。由 $A=-1-t=-2$ 得

$$t=1$$

（回代验：$B=3-1=2$ ✓，与 $A=-2$ 异号且等长 ✓。）

⑤ 一句话总结。 $g$ 在 $[0,3]$ 上扫过的高度差恒为 $4$； 一条宽 $4$ 的竖直带子 $[-2,2]$ 只容得下它一种摆法——对称地卡住。$t=1$ 就是那个唯一的摆法。

三条路回头看。 解法一最常规：求值域 $\to$ 取绝对值 $\to$ 解方程 $\to$ 回代验根， 三个候选里两个是假的，第 ⑤ 步的表格是它的命门。 解法二把「最大值为 $2$」读成「恒成立 ＋ 取得到」，两个不等式一上一下把 $t$ 夹在一点，一个方程也不用解； 代价是不能忘了第 ④ 步那句「等号确实取到」——否则你证的只是「最大值 $\leqslant 2$」。 解法三最短也最有解释力：它先证明无论 $t$ 取什么，最大值都 $\geqslant 2$， 于是题目给的 $2$ 其实是这个函数族能达到的最小的最大值，$t=1$ 是唯一的最优摆法。 三条路都要先算同一件事——值域 $\left[-1-t,\ 3-t\right]$，这是本题真正的关口。

换个数会怎样。 若把「最大值为 $2$」改成「最大值为 $1$」，由解法三 $1<2$，无解； 改成「最大值为 $3$」，则要解 $\max\left\{\left|t+1\right|,\left|t-3\right|\right\}=3$： 让上端顶到 $3$ 得 $3-t=3$，即 $t=0$（此时值域是 $[-1,3]$，下端 $\left|-1\right|=1<3$ ✓）； 让下端顶到 $-3$ 得 $-1-t=-3$，即 $t=2$（值域 $[-3,1]$，上端 $1<3$ ✓）。 两个答案 $t=0$、$t=2$。 一般地，最大值取 $m$ 时：$m<2$ 无解，$m=2$ 恰好一个解 $t=1$，$m>2$ 有两个解 $t=3-m$ 与 $t=m-1$。 $2$ 是唯一一个使答案唯一的取值，题目正是挑了这个临界值。 （顺便：这里每一个候选都回代比了一次另一端——正是下面 🕳️ 第一条说的那件事。）

🕳️ 避坑

• 「某一支等于 $2$」只是必要条件。 $\left|t+1\right|=2$ 解出的 $t=-3$ 让另一支变成 $6$，最大值是 $6$ 不是 $2$。 凡是把 $\max$ 拆成两支来解的，解完一定回代比一次。
• 别漏了顶点。 对称轴 $x=1$ 落在 $[0,3]$ 里，最小值在那里而不在端点； 只比 $g(0)=-t$ 与 $g(3)=3-t$ 会把值域算成 $[-t,3-t]$，长度变成 $3$，答案跟着错。
• 「最大值 $\leqslant 2$」不是「最大值 $=2$」。 解法二第 ② 步得到的是前者； 少了第 ④ 步那句验证，$t$ 的解集看上去仍是一个点纯属侥幸——换一道题就会多出一整段。
• $t$ 不改变形状，只改变高度。 它既不影响对称轴（恒为 $x=1$），也不影响值域的长度（恒为 $4$）。 看清这一点，三条路都会短一半；看不清，就会去讨论对称轴在不在区间里。
• 绝对值的最大值看的是值域的两端，不是原函数的最大值。 $g$ 的最大值是 $3-t$， 但 $\left|g\right|$ 的最大值在 $t=1$ 时由最小值那一端 $-2$ 与最大值那一端 $2$ 并列取到。