绝对值之和换成和差的较大者

解题套路

1. 先确认目标真是”两个量的绝对值之和”：$|a|+|b|$、$|x_{1}|+|x_{2}|$、$|m|+|n|$ 都算。

2. 换成

   $$|a|+|b|=\max\bigl\{|a+b|,\ |a-b|\bigr\} .$$

3. 回头看题目给了 $a+b$、$a-b$ 的什么界。多数题目给的正是这两个线性组合的界 （例如「$f(1)$、$f(-1)$ 都不超过 $2$」翻译过来就是 $a+b$ 与 $b-a$ 各落在一段里）。

4. 两个界取大，就是 $|a|+|b|$ 的上界；再找一组取等的 $(a,b)$，最大值才算求出来。

为什么这个等式成立

分两种情况，各自直接验：

• $a$、$b$ 同号（含其中一个为零）：$|a+b|=|a|+|b|$，而 $|a-b|=\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a|+|b|$， 所以右边的 $\max$ 由 $|a+b|$ 取到，等于左边。
• $a$、$b$ 异号：$|a-b|=|a|+|b|$，而 $|a+b|=\bigl||a|-|b|\bigr|\leq|a|+|b|$， 所以右边的 $\max$ 由 $|a-b|$ 取到，同样等于左边。

两种情况穷尽了所有 $(a,b)$，等式恒成立。

为什么这么走值钱

约束与目标常常说的不是同一套坐标。 目标问的是 $a$、$b$ 各自的大小， 而题目给的往往是 $a+b$、$a-b$（或 $f(1)$、$f(-1)$ 这类取样值）的大小。 硬把 $a$、$b$ 从约束里解出来，再各自估界，得到的上界通常偏松—— 因为那样做默认两个界能同时取到，而它们其实互相牵制。 这个等式把目标原地换成约束用的那套坐标，一步就把牵制算进去了。

反过来提醒

• 它是等式，不是不等式。 常见的误记是写成 $|a|+|b|\geq\max\{|a+b|,|a-b|\}$—— 那样写虽然对，却把有用的一半丢了：求上界时需要的正是”等号一直成立”。
• $\max$ 不能换成 $\min$，也不能换成两者的平均。 $\min\{|a+b|,|a-b|\}$ 等于 $\bigl||a|-|b|\bigr|$，是差不是和。
• 上界求出来还差一步。 由两个线性组合的界只能得到 $|a|+|b|\leq k$； 必须再举出一组同时满足所有约束、且 $|a|+|b|=k$ 的 $(a,b)$，才能断言最大值就是 $k$。