浙江 2017 · 数学 q05

冷启动：题目到底在问什么

题面给的是

$$f(x)=x^{2}+ax+b,\qquad x\in[0,1]$$

$M$ 是它在这段区间上的最大值，$m$ 是最小值。要判断的不是 $M-m$ 等于多少，而是这么一件事：

$M-m$ 这个数，会不会随着 $a$ 变？会不会随着 $b$ 变？

先把「有关 / 无关」说清楚，否则四个选项读不懂：

• 与 $a$ 有关 ＝ 存在两组取值，只改 $a$、$M-m$ 就变了。要证「有关」，举一个例子就够。
• 与 $b$ 无关 ＝ 无论 $b$ 取什么，$M-m$ 都一样。要证「无关」，必须对所有 $b$ 都成立，举例子不算数。

这两句不对称，是本题唯一的门槛：「有关」只要一个反例，「无关」要一个证明。 下面两条路都按这个分工来办。

顺带说一句这题为什么不能上来就套顶点。抛物线 $y=x^{2}+ax+b$ 开口向上，对称轴是

$$x_{0}=-\frac{a}{2}$$

顶点是整条抛物线的最低点，可它未必落在 $[0,1]$ 里——$a=4$ 时 $x_{0}=-2$，早跑到区间左边去了。 所以「最小值就是顶点值」这句话在本题不成立，得看 $x_{0}$ 站在哪儿。

解法一：把 b 看成上下平移

怎么想到的。 $b$ 在式子里孤零零地加在最后，不跟 $x$ 发生任何关系。 凡是这种「纯粹加上去的常数」，在图象上只做一件事——把整条曲线原样抬高 $b$。 既然 $M$ 和 $m$ 都被抬高同样多，它们的差就该纹丝不动。把这句话写成式子，「与 $b$ 无关」当场就证完了。

① 把 $b$ 分离出去。 记

$$g(x)=x^{2}+ax$$

则 $f(x)=g(x)+b$。在 $[0,1]$ 上，给每一个函数值都加同一个 $b$，谁最大、谁最小的排序一点没变，所以

$$M=\max_{[0,1]}f=\max_{[0,1]}g+b,\qquad m=\min_{[0,1]}f=\min_{[0,1]}g+b$$

② 两式相减，$b$ 消掉。

$$M-m=\Bigl(\max_{[0,1]}g+b\Bigr)-\Bigl(\min_{[0,1]}g+b\Bigr)=\max_{[0,1]}g-\min_{[0,1]}g$$

右边只剩 $g(x)=x^{2}+ax$，里面没有 $b$。这对任何 $b$ 都成立，不是举例——「$M-m$ 与 $b$ 无关」证完了。

③ 再证「与 $a$ 有关」——举一个例子就够。 拿两个具体的 $a$ 算一算（$b$ 反正无关，取 $0$）：

• $a=0$：$g(x)=x^{2}$ 在 $[0,1]$ 上递增，$\max=g(1)=1$，$\min=g(0)=0$，于是 $M-m=1$。
• $a=-1$：$g(x)=x^{2}-x$，对称轴 $x_{0}=\dfrac12$ 落在区间里，$\min=g\!\left(\dfrac12\right)=-\dfrac14$； 两个端点 $g(0)=g(1)=0$ 一样高，$\max=0$。于是 $M-m=\dfrac14$。

$1\neq\dfrac14$，只改 $a$ 就把 $M-m$ 改掉了，所以与 $a$ 有关。

合起来：与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关，故选 B。

这条路快在分工用对了：「无关」用一个恒等式一次证完，「有关」用两个数字一次证完， 全程没碰分类讨论。教学图的上半幅画的正是第 ① 步——同一个 $a$、两个不同的 $b$， 两条曲线只是上下错开，右边量出来的那两截高低差一模一样。

解法二：配方后按对称轴的位置分类

怎么想到的。 解法一只证了「$M-m$ 与 $a$ 有关」，却没说它到底长什么样。 如果题目下一问要求出 $M-m$ 的表达式，或者你想亲眼看清「每个式子里都带 $a$、都不带 $b$」， 就得把 $M$ 与 $m$ 老老实实求出来。二次函数在闭区间上求最值只有一套办法： 先配方定对称轴，再看对称轴站在区间的哪一侧。

① 配方。

$$f(x)=\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(b-\frac{a^{2}}{4}\right),\qquad x_{0}=-\frac{a}{2}$$

开口向上，所以离对称轴越远，函数值越大。

② 按 $x_{0}$ 与 $[0,1]$ 的位置分类。 三段合起来必须盖住全体实数，一段都不能漏。

情形一：$x_{0}\le 0$，即 $a\ge 0$。 区间整个在对称轴右边，$f$ 在 $[0,1]$ 上单调递增：

$$M=f(1)=1+a+b,\quad m=f(0)=b,\quad M-m=1+a$$

情形二：$x_{0}\ge 1$，即 $a\le -2$。 区间整个在对称轴左边，$f$ 单调递减：

$$M=f(0)=b,\quad m=f(1)=1+a+b,\quad M-m=-(1+a)=-1-a$$

（$a\le-2$ 时 $-1-a\ge 1>0$，是个正数，符合「最大减最小」。）

情形三：$0<x_{0}<1$，即 $-2<a<0$。 对称轴落在区间内部，先减后增，最小值就在顶点上：

$$m=f(x_{0})=b-\frac{a^{2}}{4}$$

最大值只能在两个端点里产生，还得再比一次谁高。开口向上时离对称轴越远的端点越高， 所以 $x_{0}$ 落在区间左半（$x_{0}<\frac12$）时右端点高、落在右半时左端点高； 直接算差更省事：$f(1)-f(0)=(1+a+b)-b=1+a$。

• 若 $-1\le a<0$（此时 $1+a\ge 0$，右端点更高）：$M=f(1)=1+a+b$，

  $$M-m=(1+a+b)-\left(b-\frac{a^{2}}{4}\right)=1+a+\frac{a^{2}}{4}=\left(1+\frac{a}{2}\right)^{2}$$

• 若 $-2<a<-1$（此时 $1+a<0$，左端点更高）：$M=f(0)=b$，

  $$M-m=b-\left(b-\frac{a^{2}}{4}\right)=\frac{a^{2}}{4}$$

③ 把四个式子摆在一起看。

四个式子无一例外：都带 $a$、都不带 $b$。 故 $M-m$ 与 $a$ 有关、与 $b$ 无关，确认 B。

④ 顺手在分界点上对一次账（分类讨论做完必做的一步：两边接不上就是漏了情形或算错了）：

• $a=0$：上一行给 $1+0=1$，下一行给 $\left(1+0\right)^{2}=1$，接上了；
• $a=-1$：$\left(1-\dfrac12\right)^{2}=\dfrac14$ 与 $\dfrac{(-1)^{2}}{4}=\dfrac14$，接上了；
• $a=-2$：$\dfrac{(-2)^{2}}{4}=1$ 与 $-1-(-2)=1$，接上了。

教学图的下半幅画的就是这张表：横轴是 $a$，纵轴是 $M-m$，三个折点正好在 $a=-2,\,-1,\,0$ 处， 最低点 $\dfrac14$ 出现在 $a=-1$（对称轴恰好落在区间正中）。这条曲线一路在动——「与 $a$ 有关」看得见。

这两条路差在哪。 解法一只回答题目问的那一句，四行结束，考场上应该走它； 解法二多花五倍时间，换来的是 $M-m$ 的完整表达式——一旦题目改成「求 $M-m$ 的最小值」 或「$M-m\le 1$ 时 $a$ 的范围」，解法一就答不上来，只能走解法二。 判断标准很直接：只问「有没有关系」走解法一，问「等于多少 / 范围多大」走解法二。

四个选项的来路。

选项	说法	错在哪
A	与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关	看到 $M=1+a+b$、$m=b$ 里都有 $b$，就以为差里也有——相减时 $b$ 抵消了
B	与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关	正确
C	与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关	大概是只算了 $a=0$ 一种情形（得 $M-m=1$，是个纯数字），没换个 $a$ 试试
D	与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关	把两件事同时判反

A 和 D 都栽在同一处：$b$ 在 $M$ 里、在 $m$ 里，却不在 $M-m$ 里。 记住那条通用结论——给函数整体加一个常数，最大值与最小值一起平移，差不变。

本题源解析有两处印错，不影响答案，但别照抄。 情形①（$a<-2$ 或 $a>0$）原文写 $M-m=|f(1)-f(0)|=|a|$，可 $f(1)-f(0)=(1+a+b)-b=1+a$， 应是 $|1+a|$——代 $a=0$ 一试便知：原式给 $0$，而 $f(x)=x^{2}$ 在 $[0,1]$ 上的 $M-m$ 明明是 $1$。 情形③（$-1<a\le 0$）原文既写「$f(0)<f(1)$」又写 $M-m=f(0)-f\!\left(-\dfrac a2\right)=a-\dfrac{a^{2}}{4}$， 前后自相矛盾：$f(0)<f(1)$ 时最大值该取 $f(1)$，正确结果是 $1+a+\dfrac{a^{2}}{4}$。 两处都不改变「每个式子都含 $a$、都不含 $b$」这个结论，故答案 B 不受影响。