配方读顶点

解题套路

1. 凑出完全平方：$Ax^{2}+Bx+C=A\left(x+\dfrac{B}{2A}\right)^{2}+C-\dfrac{B^{2}}{4A}$。 实操里不必背这个式子——把 $A$ 提出来、括号里补上 $\left(\dfrac{B}{2A}\right)^{2}$ 再减掉即可。

2. 读三个数：$A$（开口，正为向上）、$h=-\dfrac{B}{2A}$（对称轴 / 极值点）、$k$（极值）。

3. 与区间比位置——这一步才是答趋势题的那一句：

   $h$ 与区间 $[m,n]$	图象在区间上的样子（$A>0$）
   $h\le m$	整段单调递增
   $m<h<n$	先减后增，最小值 $k$ 在 $x=h$ 取到
   $h\ge n$	整段单调递减

   $A<0$ 时把「增／减」整列对调（先增后减）。

4. 回代一个点验算：取一个好算的 $x$（常取 $0$ 或区间端点）代进原式与配方式，两边相等才继续。

什么时候想到它

• 题目问的是趋势（增大／减小／先增后减），而不是某个具体值；
• 手上的量已经是、或能化成参数的二次式——方差 $D(X)$、面积、距离的平方、$\sin$ 的二次式（换元后）都常落在这里；
• 只要能配方，不必求导：顶点位置就是一切。

两个提醒

• 配方前先看清 $A$ 的符号：$A<0$ 时顶点是最大值点，趋势整个反过来。
• 区间是开的时候，端点值取不到——但趋势（哪段减、哪段增）不受端点开闭影响；只有问「有没有最大／最小值」时才必须区分。