浙江 2017 · 数学 q08

冷启动：题面那两行，说的是一张只有两格的表

题面给的是

$$P(\xi_i=1)=p_i,\qquad P(\xi_i=0)=1-p_i,\qquad i=1,2$$

翻译过来：$\xi_i$ 这个随机变量只能取 $0$ 或 $1$ 两个值，取 $1$ 的概率是 $p_i$，取 $0$ 的概率是剩下的 $1-p_i$。 把它写成分布列，就是一张只有两格的表：

（两格概率相加是 $1$，合法。）这种分布叫两点分布，它的全部信息就是一个数 $p_i$。

要比的两个量：

• 期望 $E(\xi)$——「平均下来是多少」，算法是每个取值乘它的概率再相加： $E(\xi)=\sum x_k P(\xi=x_k)$
• 方差 $D(\xi)$——「平均偏离期望多远的平方」，算法是每个取值与期望的差的平方，乘它的概率再相加： $D(\xi)=\sum (x_k-E(\xi))^{2}P(\xi=x_k)$ 方差量的是波动大小：它越大，结果越飘忽；越小，结果越接近一个定数。

题目给的约束是

$$0<p_1<p_2<\frac12$$

这个 $\dfrac12$ 不是随手写的上界，它是这道题的全部机关所在——下面两条路都会走到它。

解法一：代定义算出 E 与 D，再作差定号

怎么想到的。 两个量都有现成的定义式，分布列又只有两格——直接代进去，一定能算出闭形式。 算出来之后要比大小，最稳的办法永远是作差，然后判这个差的符号。

① 算期望。 两格分别乘上概率再相加：

$$E(\xi_i)=1\times p_i+0\times(1-p_i)=p_i$$

也就是说，两点分布的期望就是 $p$ 本身。于是由 $p_1<p_2$ 立刻得

$$E(\xi_1)<E(\xi_2)$$

这一条把 C、D 两个选项直接淘汰（它们都写成 $E(\xi_1)>E(\xi_2)$）。

② 算方差。 期望已经知道是 $p_i$，代定义式：

$$\begin{aligned} D(\xi_i)&=(1-p_i)^{2}\cdot p_i+(0-p_i)^{2}\cdot(1-p_i)\\ &=p_i(1-p_i)\bigl[(1-p_i)+p_i\bigr]\\ &=p_i(1-p_i)=p_i-p_i^{2} \end{aligned}$$

（中间那一步把两项的公因式 $p_i(1-p_i)$ 提出来，方括号里正好是 $1$。）

③ 作差，判符号。 这是关键一步：

$$\begin{aligned} D(\xi_1)-D(\xi_2)&=(p_1-p_1^{2})-(p_2-p_2^{2})\\ &=(p_1-p_2)-(p_1^{2}-p_2^{2})\\ &=(p_1-p_2)-(p_1-p_2)(p_1+p_2)\\ &=(p_1-p_2)\bigl[1-(p_1+p_2)\bigr] \end{aligned}$$

现在逐个看两个因子的符号：

• $p_1-p_2<0$，因为题目给了 $p_1<p_2$；
• $1-(p_1+p_2)>0$，因为 $p_1<\dfrac12$ 且 $p_2<\dfrac12$，两个一加还是小于 $1$。

负数乘正数是负数，所以

$$D(\xi_1)-D(\xi_2)<0\quad\Longrightarrow\quad D(\xi_1)<D(\xi_2)$$

两条合起来：$E(\xi_1)<E(\xi_2)$ 且 $D(\xi_1)<D(\xi_2)$，故选 A。

看清楚 $\dfrac12$ 是在哪一步用上的。 整道题里，$p_i<\dfrac12$ 这个条件只在第 ③ 步起了作用—— 它保证 $p_1+p_2<1$，从而第二个因子为正。把上界换成 $1$（即只给 $0<p_1<p_2<1$）， 第二个因子的符号就说不准了，$D$ 的大小关系随之也说不准。

解法二：把 E、D 都看成 p 的函数，读单调性

怎么想到的。 上一条路作了一次差、分解了一次因式。可回头看第 ① ② 步的结果：

$$E=p,\qquad D=p-p^{2}$$

两个都是关于 $p$ 的初等函数——那么「$p$ 变大时它们怎么变」根本不用作差， 画出来（或配一次方）直接就看见了。比大小的问题于是变成读单调性的问题。

① $E=p$：一条直线。 斜率为 $1$，在整个 $[0,1]$ 上一路上升。所以 $p$ 大的那个期望就大，没有例外。

② $D=p-p^{2}$：一条开口向下的抛物线。 配方：

$$D=-\left(p-\frac12\right)^{2}+\frac14$$

读出三件事：开口向下（$-1<0$）、对称轴 $p=\dfrac12$、最大值 $\dfrac14$。于是

$$D\ \text{在}\ \left(0,\tfrac12\right)\ \text{上递增},\qquad D\ \text{在}\ \left(\tfrac12,1\right)\ \text{上递减}$$

③ 看题目把 $p$ 放在了哪一边。 条件是 $0<p_1<p_2<\dfrac12$——两个点都在对称轴左边， 正落在 $D$ 递增的那一段上。既然 $p_1<p_2$，就有

$$E(\xi_1)<E(\xi_2)\quad\text{且}\quad D(\xi_1)<D(\xi_2)$$

确认 A。

这两条路差在哪。 解法一是万能的：无论 $p_1$、$p_2$ 落在哪儿，作差分解总能给出符号 （若两点分居 $\dfrac12$ 两侧，那个因子 $1-(p_1+p_2)$ 的符号也照样能判）。 解法二快得多，而且看得见——但它吃一个前提：两个点必须落在同一段单调区间里。 一左一右时，「谁大」不再由 $p$ 决定，而由「谁离 $\dfrac12$ 更近」决定，这时读单调性就不够了。 所以顺序是：先看两个 $p$ 是不是同在 $\dfrac12$ 的一侧，是就走解法二，不是就退回解法一作差。

四个选项的来路。

选项	说法	错在哪
A	$E_1<E_2$，$D_1<D_2$	正确
B	$E_1<E_2$，$D_1>D_2$	期望判对了，方差用错了「另外半边」的结论——那是 $p>\dfrac12$ 时才对的
C	$E_1>E_2$，$D_1<D_2$	期望判反：$E=p$ 就是 $p$ 本身，$p_1<p_2$ 不可能推出 $E_1>E_2$
D	$E_1>E_2$，$D_1>D_2$	两个都判反

真正的分水岭是 B。 「概率越接近 $\dfrac12$，结果越难猜、方差越大」这句话是对的， 而且很多人记得住；出错是因为把它简化成了「$p$ 越大方差越小」—— 那只在 $p>\dfrac12$ 时成立。决定方差大小的从来不是 $p$ 本身，而是 $p$ 离 $\dfrac12$ 有多远。 记住这一句，B 就骗不到人。

一个值得单独记住的结论。 两点分布的 $E(\xi)=p,\qquad D(\xi)=p(1-p)\le\frac14$ 方差的最大值 $\dfrac14$ 在 $p=\dfrac12$ 处取到——任何只取两个值的随机变量， 只要把取值缩放到 $0$ 与 $1$，方差都跑不出 $\left[0,\dfrac14\right]$。