不动点造常数列

套路说明

递推数列 $a_{n+1}=F(a_n)$ 的不动点就是方程

的根。它的用处一句话说完：首项取在不动点上，后面每一项都还是它——

于是整条数列变成常数列 $a_n\equiv x_0$。这是唯一一种不用算就知道全部项的起点，所以

• 要否掉「对任意首项都有 $a_N>M$」这类论断，只要不动点存在且 $\le M$，取首项 $=$ 不动点即成反例（见套路/构造反例）；
• 反过来，$F(x)=x$ 无解时，$F(x)-x$ 在实数上不变号，于是每一步的增量 $a_{n+1}-a_n=F(a_n)-a_n$ 恒同号，数列只能一路单调走——常数列、周期列全都造不出来。

怎么找不动点

$F$ 是二次的（$F(x)=x^{2}+b$）时最常考：

于是 $b\le\dfrac14$ 有不动点（$b=\dfrac14$ 时两根重合成一个）、$b>\dfrac14$ 没有。判别式就是判据，不用真的把根开出来——根是无理数也照样能拿来当反例的起点，因为常数列的每一项都等于它、和它一样大。

图上是什么

把 $y=F(x)$ 与 $y=x$ 画在一起：交点的横坐标就是不动点。曲线在直线上方且不相交，说明 $F(x)>x$ 恒成立，每步都往上走；相切或相交，就有起点能把数列钉住。这张「曲线 $+$ 对角线」的图还能顺手读出迭代的走法（从 $x$ 轴出发，竖到曲线、横到对角线，反复），俗称蛛网图。

边界

• 不动点只保证那一个起点的数列不动，别推广成「有不动点 $\Rightarrow$ 所有起点都不跑」——$F(x)=x^{2}-4$ 有不动点 $\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}$，但首项取 $0$ 时 $0\to-4\to12\to140$，照样爆。
• 「首项取不动点」是构造出来的反例，不是题目给的条件；若题目已经指定了首项（如 $a_1=1$），这招就用不上，得回去正面估。
• 无解那一侧只推得出「单调」，单调不等于超过任何门槛——还要给增量一个正的下界（如 $F(x)-x\ge d>0$），才谈得上「第 $N$ 项一定过线」。