由几个等式推一般结论

题型说明

• 常见问法：「观察下列等式：……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 $n\in\mathbf{N}^{*}$，$\cdots=$ ____」。
• 给的几行必须逐行同构：第 $k$ 行与第 $k+1$ 行在每一个位置上都能一一对应。能对应，才谈得上「竖着读」。
• 题目用的词是推测，不是「证明」。填空题只要求给出那一行；但作为学习，猜出来之后至少要回代验证，最好再找一条真正的证明。

三步

1. 把几行摆成一张表：一行一行地写，同一个位置上下对齐。位置有几种：下标 / 上标 / 底数 / 指数 / 系数 / 符号 / 项数。
2. 每一列各猜各的。绝大多数列是等差（公差就是逐差）或等比（公比就是逐商），符号列多半是 $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n+1}$，项数列往往就是 $n$ 或 $n+1$。
3. 拼回去，再回代。把各列的通项按原来的位置装回一般式，然后用题面给的每一行逐个代入核对——一行不对，猜的就是错的。

两件容易忽略的事

• 有些位置被「省掉」了。第一行写 $2^{3}-2$，那个 $2$ 其实是 $2^{1}$；不把指数补出来，第二列就排不成一列数。同理，写作 $1$ 的系数、写作 $x$ 的一次幂，都要补齐再看。
• 行号未必从 $1$ 起。几行给的可能是 $n=2,3,4,5$，那么通项里的 $n$ 要跟着对位；拿第一行的值当「首项 $a_1$」是这一步最常见的错法。

便宜的自检：再往下预测一行

猜出一般式之后，取一个题面没给的 $n$（往往是下一个），一边用一般式算、一边照原始定义实算，两边对上才算过关。这一步不需要任何新知识，成本极低，却能挡住「只对上前几项」那一类错。