浙江 2010 · 数学 q02

冷启动：先把这张框图读成一句人话

原卷把框图印在第 1 页右侧，切题时它落进了第 1 题那张图里，所以这道题的切图上看不到它。下面这张是照原卷复原的：

读框图只需要按箭头走一遍：

1. 进循环前先把两个变量放好：$S=1$，$k=1$。
2. 每转一圈做两件事，顺序要紧：先把计数器加一（$k\gets k+1$），再更新累加量（$S\gets 2S+k$）。也就是说，这一圈用的是加过之后的 $k$。
3. 然后问一句判断框里的话。答「否」就绕回去再转一圈；答「是」就跳出去，把当前的 $S$ 打印出来。

判断框写在循环体后面，所以这个循环至少转一圈（先做事，再问要不要停）。题目倒过来问：已知打印出来的是 $S=57$，判断框里该填哪一句？

四个选项都是 $k>$ 某个数的形状，而 $k$ 每圈只加 $1$、一路递增，所以「第一次满足 $k>m$」就是「$k$ 刚好变成 $m+1$ 的那一圈」。于是问题变成：$S$ 等于 $57$ 的时候，$k$ 停在几？

解法一：逐圈模拟——把每一圈的 $k$ 与 $S$ 写成一张表

怎么想到的。 循环体只有两行、数也不大，最老实的办法就是最快的办法：拿张纸按箭头走，每转一圈记一行。别在脑子里硬算，写出来才不会串行。

进循环前：$S=1$，$k=1$。

第 4 圈结束时 $S$ 正好是 $57$，此刻 $k=5$。程序要在这里跳出来，说明判断框里那句话满足：

• 在 $k=5$ 时成立（这样才跳出去打印 $57$）；
• 在 $k=2,3,4$ 时都不成立（否则会提前跳出，打印 $4$、$11$ 或 $26$）。

四个选项里同时满足这两条的只有 $k>4$——$5>4$ 成立，而 $2,3,4$ 都不大于 $4$。答案 A。

最容易错的一笔在这里。 $S=57$ 是第 4 圈算出来的，可这一圈里 $k$ 的值是 $5$ 而不是 $4$。「转了 4 圈」与「计数器是 5」差一步，是因为 $k$ 从 $1$ 起步、每圈加一。看到 $57$ 就顺手填 $k>3$ 或 $k>5$ 的，都是在这一步上读岔了：一个把圈数当成了计数器，一个把「跳出时的 $k$」当成了门槛本身。门槛要比跳出时的 $k$ 小 $1$。

解法二：反着来——四个选项各代进去跑一遍

怎么想到的。 上一条是「从框图算到答案」，选择题还有一条更省心的路：答案就摆在那儿，挨个试。把每个选项填进判断框，各跑一遍程序，看谁打印出 $57$。这条路不需要事先想清楚「圈数与 $k$ 差几」——那个最容易错的地方，被「照着框图跑」绕过去了。

先把这条链算长一点（每圈还是先 $k$ 加一、再 $S=2S+k$）：

$$S:\ 1\to 4\to 11\to 26\to 57\to 120\to 247\to 502,\qquad k:\ 1\to 2\to\ 3\ \to\ 4\ \to\ 5\ \to\ \ 6\ \to\ \ 7\ \to\ \ 8 .$$

填 $k>m$ 时，程序在 $k=m+1$ 的那一圈跳出，打印的就是那一圈的 $S$：

只有 (A) 打印 $57$。答案 A。

顺带看出一件事：门槛往后挪一格，输出就要翻一倍还多（$57\to120\to247\to502$），所以这四个候选的输出互不相同，答案唯一、不会有并列。图里下半那四根柱子画的就是这张表：红色虚线是题面要的 $57$，四根柱子里只有第一根落在线上。

解法三：先求通项——$S+k+2$ 每圈翻一倍

怎么想到的。 前两条都在「跑」。如果门槛不是 $4$ 而是 $40$，跑就跑不动了，得有个公式。把循环体写成递推：第 $k$ 圈算出的值记作 $S_{k}$（下标就用这一圈的 $k$，$S_{1}=1$ 是进循环前的初值），则

$$S_{k}=2S_{k-1}+k .$$

麻烦的是右边多了一个 $k$，不是干净的「每圈翻倍」。补一个东西让它变干净：猜 $S_{k}+ak+b$ 能每圈翻倍，代进去定 $a,b$——

$$S_{k}+ak+b=2\bigl(S_{k-1}+a(k-1)+b\bigr) \iff 2S_{k-1}+k+ak+b=2S_{k-1}+2ak-2a+2b ,$$

比较 $k$ 的系数得 $1+a=2a$，即 $a=1$；再比较常数项得 $b=-2a+2b$，即 $b=2$。于是

$$T_{k}:=S_{k}+k+2\quad\Longrightarrow\quad T_{k}=2T_{k-1} .$$

这就是这个循环的不变式：每转一圈，$S+k+2$ 恰好翻一倍，从不例外。起点 $T_{1}=1+1+2=4$，所以 $T_{k}=4\cdot 2^{\,k-1}=2^{\,k+1}$，

$$S_{k}=2^{\,k+1}-k-2 .$$

验一下：$k=2$ 给 $8-4=4$，$k=5$ 给 $64-7=57$，与表里逐圈算的一致。

现在解 $S_{k}=57$：

$$2^{\,k+1}-k-2=57\iff 2^{\,k+1}=k+59 .$$

左边翻倍着涨、右边一次一格，两条曲线至多交两次；试 $k=4$ 得 $32$ 对 $63$（左小），$k=5$ 得 $64$ 对 $64$（相等），$k=6$ 得 $128$ 对 $65$（左大），所以 $k=5$ 是唯一解。跳出时 $k=5$，门槛就是 $4$，答案 A。

这条路多给了什么。 有了 $S_{k}=2^{\,k+1}-k-2$，把 $57$ 换成任何一个数都能一口气回答，甚至能反过来问「输出第一次超过一万是第几圈」。前两条路只对这一道题的这几个数管用。