只数循环用到的因子

解题套路

先看循环体对累积量做了什么。如果每一轮都是同一种运算、且另一个操作数就是计数器：

乘法与加法都满足结合律、交换律，所以运算的先后次序完全不影响结果——逐轮模拟里那条「$T$ 怎么一步步变小」的轨迹是多余信息。 剩下唯一要定的是求和 / 求积的下标集合：计数器 $i$ 究竟取过哪几个值，且每个值取过几次。

两步：

1. 定集合。计数器一般是 $i=i_0$ 起、每轮 $+d$。关键只有一句：哪一轮的运算真的做了。
   • 判断框在循环体之后（先做后判）：触发退出的那个 $i$ 是在本轮运算做完之后才自增出来的， 所以它没有参与运算；参与的是它前面那些。
   • 判断框在循环体之前（先判再做）：被判断拦住的那个 $i$ 同样没参与。
2. 折起来。把集合里的值按那一种运算连乘 / 连加。

为什么值得单独当一条路

它和「找循环不变式」是两回事：不变式要写出闭式再归纳，这条连闭式都不用—— $\frac{1}{1\times2\times3\times4\times5}$ 就是答案，认不出它等于 $\frac{1}{5!}$ 也不影响作答。 它也是三条路里最容易自查的一条：数一遍集合的元素个数，就等于循环跑过的轮数。

什么时候不能用

• 循环体里累积量与自己纠缠（$S=2S+i$：这一轮的 $i$ 会被后面每一轮再乘一次 $2$， 次序有意义，折不起来）；
• 循环体里有分支，某些轮做乘、某些轮做加；
• 计数器的更新依赖累积量（$i$ 的步长与 $S$ 有关），集合本身要跑才知道。

前两种老老实实逐轮跑或写递推。

一个提醒

「集合」二字要当真：取过几次也算。若一轮里计数器被用了两次（如 $T=T\cdot i\cdot i$）， 或者步长使某个值被跳过，连乘式里的因子就与「$i_0$ 到某个上限的全部整数」不是一回事。 写连乘之前，把因子一个一个念出来，别写 $\prod_{i=1}^{n}$ 就以为完事。