联立对数式与指数式解方程组

题型说明

• 常见问法：「已知 $a>b>1$，若 $\log_a b+\log_b a=\dfrac52$，$a^{b}=b^{a}$，则 $a=$　，$b=$　」。 多为填空题的中档位置（浙江卷第 12 题一带）。
• 它的特点是两个条件说的是两种语言：一个写成对数，一个写成幂。 单看任何一个都定不下 $a$、$b$——对数那句只锁住比例，幂那句也只锁住比例， 两句合起来才把两个数钉死。
• 附带的大小关系（$a>b>1$ 之类）一定会被用到，它是解出多组之后取舍的唯一依据。

三个固定动作

1. 翻成同一种语言。幂等式两边取对数（底数随便挑，通常挑 $b$ 或 $\mathrm e$）： $a^{b}=b^{a}\Rightarrow b\log_b a=a$，于是 $\log_b a=\dfrac ab$——幂那句立刻变成了对数的话。 反方向也行：把 $\log_b a=t$ 写成 $a=b^{t}$，对数那句就变成了幂的话。
2. 让式子只剩一个未知量。可选的「一个量」通常是 $t=\log_b a$、比 $\dfrac ab$、或 $\dfrac{\ln a}{\ln b}$——它们其实是同一个东西。 代进去后往往得到 $t+\dfrac1t=k$ 这种倒数和方程，或者关于 $a,b$ 的齐次二次方程。
3. 两个关系联立收尾。一个条件给 $a=b^{t}$，另一个给 $a=tb$，两式相等就解出 $b$。

为什么必须回验

对数条件里 $\log_a b$ 与 $\log_b a$ 地位对称，去分母后的方程对「$t$ 与 $\dfrac1t$」一视同仁； 齐次方程分解出的两个因式也是对称的一对。方程本身分不出真假根， 只有把 $a>b>1$ 用上才能取舍，所以最后务必把 $(a,b)$ 代回原来的两个条件逐条核一遍。

常见失手

• 看见 $a^{b}=b^{a}$ 就写 $a=b$。这个方程在 $a\neq b$ 时也有解（$(2,4)$ 就是）， 而题面往往正好给了 $a>b$，直接与它打架。
• 换元后不换范围，于是 $t=\dfrac12$ 和 $t=2$ 都留着，答案变成两组。
• 只验一个条件。$a=b^{2}$ 满足对数那句的解有无穷多对，必须再过幂那句。