齐次二次式因式分解定比例

解题套路

1. 认出齐次：把方程整理成一边为 $0$ 后，每一项的次数都相同。 典型来源是「两个倒数之和等于常数」去分母： $$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=k\ \xrightarrow{\ \times xy\ }\ x^{2}-kxy+y^{2}=0 .$$
2. 当成关于 $x$ 的一元二次分解（把 $y$ 看成常数），或者直接除以 $y^{2}$ 换元 $r=\dfrac xy$，解 $Ar^{2}+Br+C=0$。两条路给出同一件事： $$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=A(x-r_1y)(x-r_2y).$$
3. 每个因式读成一条比例：$x=r_1y$ 或 $x=r_2y$。
4. 用题设的大小 / 符号关系取舍。齐次方程对两条比例一视同仁， 分不出真假，取舍的依据只能来自方程之外。

例

$2a^{2}-5ab+2b^{2}=0$ 分解为 $(2a-b)(a-2b)=0$，给出 $b=2a$ 或 $a=2b$。 若另有 $a>b>0$，前者被排除，只剩 $a=2b$。

分解时的小检查：首项系数与末项系数的积要等于两个一次因式交叉相乘的搭配， $2a^{2}-5ab+2b^{2}$ 里 $2\times2=4$，拆成 $(-1)\times(-4)$ 且和为 $-5$，故中间项配得上。

为什么只定比例

齐次意味着 $(x,y)$ 是解时 $(\lambda x,\lambda y)$ 也是解（$\lambda\neq0$）—— 方程沿着过原点的直线整条成立。所以齐次方程永远定不出具体的数，只能定方向， 要把数钉死必须再来一个非齐次的条件。

边界

• $y=0$ 要单独看：除以 $y^{2}$ 或换元 $r=\dfrac xy$ 前必须确认 $y\neq0$。 齐次方程若有 $y=0$ 的解，它对应 $Ax^{2}=0$，即 $A=0$ 或 $x=0$。
• 判别式 $B^{2}-4AC<0$ 时没有实比例，方程只有零解 $x=y=0$。