浙江 2015 · 数学 q09

冷启动：这道题只问两个数

题面给的方程

$$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$$

已经是标准形了——$x^{2}$ 项为正、$y^{2}$ 项为负、右边是 $1$。要填的两个空是：

• 焦距：两个焦点之间的距离，等于 $2c$（不是 $c$）；
• 渐近线方程：两条过原点的直线，曲线越走越贴近它们却永不相交。

三个字母的关系一句话：$a$ 是横向的半轴长，$b$ 是纵向的半轴长，$c$ 是原点到焦点的距离， 而双曲线里 $c$ 最大：

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$$

（椭圆那边是 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$，符号正好相反。判据不用背：双曲线的焦点在顶点外侧， 所以 $c>a$；椭圆的焦点在顶点内侧，所以 $c<a$。）

解法一：对号入座——从标准形直接读出 $a^{2}$、$b^{2}$

第一步：把方程写成标准形的样子

标准形是 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）。题面那个式子只差把 $y^{2}$ 写成分式：

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{1}=1 .$$

对号入座：$x^{2}$ 底下的是 $a^{2}$，$y^{2}$ 底下的是 $b^{2}$，于是

$$a^{2}=2,\qquad b^{2}=1,\qquad a=\sqrt{2},\qquad b=1 .$$

注意位置定角色，大小不定角色：$a^{2}=2>1=b^{2}$ 只是碰巧，双曲线里 $a$ 与 $b$ 谁大都行； 决定谁是 $a^{2}$ 的是「它在带正号的那一项底下」。带正号的是 $x^{2}$ 项，所以焦点在 $x$ 轴上。

第二步：焦距

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}=2+1=3\quad\Longrightarrow\quad c=\sqrt{3},$$

于是

$$\text{焦距}=2c=2\sqrt{3},\qquad F_{1}(-\sqrt3,0),\ F_{2}(\sqrt3,0).$$

别在这一步停下：题目问的是「焦距」，答 $\sqrt3$ 就少乘了一个 $2$。

第三步：渐近线

焦点在 $x$ 轴上的双曲线，渐近线是

$$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{1}{\sqrt2}x=\pm\frac{\sqrt2}{2}x .$$

分子是 $b$、分母是 $a$——别写反。一个不用记的判据：把方程右边的 $1$ 换成 $0$，

$$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=0\iff y^{2}=\frac{x^{2}}{2}\iff y=\pm\frac{\sqrt2}{2}x ,$$

解一次就出来了，比回忆 $\dfrac ba$ 还是 $\dfrac ab$ 稳。

第四步：两个验算

• $c$ 对不对：$c=\sqrt3>\sqrt2=a$。双曲线的焦点必须在顶点外侧，符合。 若算出 $c<a$，那多半是把 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 写成了减号。
• 渐近线对不对：把 $y=\dfrac{\sqrt2}{2}x$ 代进方程左边， $\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{2}}{2}=0\neq1$，说明这条直线与双曲线没有公共点——正是「渐近而不相交」该有的样子。

第五步：作答

$$\text{焦距}=2\sqrt{3};\qquad \text{渐近线}\ y=\pm\frac{\sqrt2}{2}x .$$

答案：$2\sqrt{3}$；$y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。

解法二：两个公式都不背，各自现推一遍

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 与 $y=\pm\dfrac ba x$ 都是记的。这条路把它们在这道题上现推， 顺便说明为什么焦点在 $x$ 轴上。

第一步：先定焦点在哪条轴上

由方程，$\dfrac{x^{2}}{2}=1+y^{2}\geq1$，故 $|x|\geq\sqrt2$；而 $y$ 可取任意实数。 也就是说曲线在竖直带 $|x|<\sqrt2$ 里一个点都没有，却向上下无限延伸——它是左右两支。 两支的最近点（顶点）是 $(\pm\sqrt2,0)$，连接它们的线段落在 $x$ 轴上。 焦点在这条轴上，且按对称性关于原点成对，故设

$$F_{1}(-c,0),\qquad F_{2}(c,0),\qquad c>0 .$$

第二步：用「距离差是常数」把 $c$ 逼出来

设 $P(x_{0},y_{0})$ 在曲线上，则 $y_{0}^{2}=\dfrac{x_{0}^{2}}{2}-1$。于是

$$|PF_{1}|^{2}=(x_{0}+c)^{2}+y_{0}^{2} =\frac{3}{2}x_{0}^{2}+2cx_{0}+\bigl(c^{2}-1\bigr).$$

$|PF_{1}|-|PF_{2}|$ 要是一个与 $P$ 无关的常数，最自然的情形是 $|PF_{1}|$ 本身就是 $x_{0}$ 的 一次式的绝对值——那就要求上面这个二次式是完全平方，即判别式为零：

$$(2c)^{2}-4\cdot\frac32\cdot\bigl(c^{2}-1\bigr)=0 \iff 4c^{2}-6c^{2}+6=0 \iff c^{2}=3 .$$

这一步是找，下一步才是验。

第三步：验证 $c=\sqrt3$ 确实给出焦点

代回去配方：

$$|PF_{1}|^{2}=\frac32x_{0}^{2}+2\sqrt3\,x_{0}+2=\frac32\left(x_{0}+\frac{2\sqrt3}{3}\right)^{2},$$ $$|PF_{1}|=\frac{\sqrt6}{2}\left|x_{0}+\frac{2\sqrt3}{3}\right|, \qquad |PF_{2}|=\frac{\sqrt6}{2}\left|x_{0}-\frac{2\sqrt3}{3}\right| .$$

（第二个式子把 $c$ 换成 $-c$ 重算一遍即可。）右支上 $x_{0}\geq\sqrt2>\dfrac{2\sqrt3}{3}$ （因为 $2>\dfrac43$），两个绝对值都能直接去掉：

$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=\frac{\sqrt6}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt{18}}{6}=2\sqrt2 ,$$

是个常数，与 $P$ 在右支上的位置无关；左支上同理得 $-2\sqrt2$。 所以 $(\pm\sqrt3,0)$ 确是这条双曲线的焦点，

$$\text{焦距}=2c=2\sqrt3 .$$

第四步：渐近线现推一遍

从方程解出 $y$（取右支的上半支，$x\geq\sqrt2$）：

$$y=\sqrt{\frac{x^{2}}{2}-1}.$$

拿它和候选直线 $y=\dfrac{x}{\sqrt2}$ 作差，分子有理化：

$$\sqrt{\frac{x^{2}}{2}-1}-\frac{x}{\sqrt2} =\frac{\left(\frac{x^{2}}{2}-1\right)-\frac{x^{2}}{2}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{2}-1}+\frac{x}{\sqrt2}} =\frac{-1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{2}-1}+\frac{x}{\sqrt2}} .$$

分子被压成了常数 $-1$，分母随 $x\to+\infty$ 无界增大，所以这个差趋于 $0$： 直线 $y=\dfrac{x}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}x$ 是渐近线。 差恒为负，说明曲线始终在这条直线下方，永不相交——「渐近」两个字都验到了。

这条双曲线关于两条坐标轴都对称（方程里只有 $x^{2}$ 与 $y^{2}$），所以另一条是 $y=-\dfrac{\sqrt2}{2}x$。

$$\text{渐近线}:\ y=\pm\frac{\sqrt2}{2}x .$$

第五步：把两个结论钉进一张图——特征矩形

以 $(\pm\sqrt2,\ \pm1)$ 为四个顶点作矩形（半宽 $\sqrt2$，半高 $1$）。刚才推出来的两件事在它身上各占一条：

• 矩形对角线的斜率是 $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 与 $-\dfrac{\sqrt2}{2}$， 正是两条渐近线的斜率；两条对角线所在的直线就是两条渐近线。
• 半宽、半高是直角边，半对角线是斜边：$\sqrt{2+1}=\sqrt3=c$。 于是对角线的全长 $2\sqrt3$ 就是焦距；把半对角线绕原点旋到 $x$ 轴上，落点恰是焦点。

第六步：作答

答案：$2\sqrt{3}$；$y=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。

回头看：这道题只有三个失分点

一、加号还是减号。 双曲线 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，椭圆 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$。 记不住就看图：双曲线的焦点在顶点外（$c>a$），椭圆的焦点在顶点内（$c<a$）。 本题 $\sqrt3>\sqrt2$，对。

二、斜率是 $\dfrac ba$ 还是 $\dfrac ab$。 焦点在 $x$ 轴上时是 $\pm\dfrac ba$。 不想记就把右边的 $1$ 换成 $0$ 解一次，或者按特征矩形读「半高 $\div$ 半宽」。 本题 $\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$，写成 $\dfrac{\sqrt2}{1}=\sqrt2$ 就是把两者写反了。

三、焦距是 $2c$。 问「焦距」答 $\sqrt3$、问「焦点坐标」答 $2\sqrt3$，都是白丢分。 这道题两个空各 $3$ 分，第一个空只差一个因子 $2$。

最后一句：$a^{2}$ 与 $b^{2}$ 的角色由位置决定（正号项底下的是 $a^{2}$），不由大小决定。 本题恰好 $a^{2}>b^{2}$，换成 $\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{5}=1$ 时 $a^{2}$ 仍是 $2$。