浙江 2019 · 数学 q02

冷启动：题面只给了一句话，先看它到底锁住了什么

题面给的全部条件是渐近线方程：

$$x\pm y=0 ,\qquad\text{即}\qquad y=x\ \text{与}\ y=-x .$$

要求的是离心率 $e$。所以整道题就是一次翻译：把「渐近线是这两条」翻成「$a$、$b$、$c$ 之间的关系」。

翻译之前先把这句条件称一称重量——它锁住的比看起来少：

• 焦点在 $x$ 轴上时，渐近线是 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$，两条斜率是 $\pm\dfrac ba$；
• 焦点在 $y$ 轴上时（方程 $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$），渐近线是 $y=\pm\dfrac{a}{b}x$。

两种情形里，斜率都是 $a$ 与 $b$ 的比。所以

「渐近线是 $y=\pm x$」这句话只说了一件事：$a=b$。 它既定不出 $a$ 与 $b$ 的具体值（$a=b=1$ 与 $a=b=100$ 的双曲线渐近线完全相同）， 也定不出焦点在哪个坐标轴上。

这就是本题唯一的卡点：条件给得比通常少，所以要么先补一个假设（解法一），要么干脆两种都算（解法二）。 好在本题的渐近线斜率恰好是 $1$（等轴双曲线），两条路最后落到同一个数上—— 斜率换成别的数就不会这么便宜，后文的方框里有反例。

解法一：读渐近线的斜率，套一步公式

怎么想到的。 求的是 $e$，而 $e$ 有一条只要 $\dfrac ba$ 就够用的公式：

$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}} .$$

题面给的偏偏就是渐近线的斜率，也就是 $\dfrac ba$。条件和公式恰好对口，那就直接对上。

① 先摆一套方程。 设双曲线的焦点在 $x$ 轴上：

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\qquad(a>0,\ b>0) .$$

它的渐近线是 $y=\pm\dfrac ba x$。

② 与题面比对，读出比值。 题面的渐近线写成斜截式是 $y=\pm x$，斜率的绝对值是 $1$，所以

$$\frac ba=1 .$$

③ 代入公式。

$$e=\sqrt{1+\left(\frac ba\right)^{2}}=\sqrt{1+1^{2}}=\sqrt2 .$$

与选项 C 相同。

自检两处。

• 量级对不对：双曲线必有 $c>a>0$，故 $e>1$。算出的 $\sqrt2\approx1.414>1$ ✓。 （这一条能当场毙掉选项 A 与 B。）
• 反过来验一遍：取 $a=b=1$，则 $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt2$，双曲线是 $x^{2}-y^{2}=1$， 渐近线确为 $y=\pm x$，离心率 $\dfrac{c}{a}=\sqrt2$ ✓。

但第 ① 步是我替题目补的假设。 题面没有一个字说焦点在 $x$ 轴上。 这一步在本题恰好不影响答案，理由一行就能给：换成焦点在 $y$ 轴上，方程是 $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$、渐近线是 $y=\pm\dfrac ab x$， 与 $y=\pm x$ 比对得 $\dfrac ab=1$，仍是 $a=b$，仍得 $e=\sqrt2$。 （下一条路把这件事完整算一遍。）可它仍是一个必须意识到自己做了的动作—— 换成「求双曲线的标准方程」的问法，同一句渐近线条件会给出两个不同的方程； 而且渐近线的斜率一旦不是 $1$，连离心率都会随摆法而变（见后文的方框）。

解法二：不预设焦点位置——两种摆法各算一遍

怎么想到的。 既然渐近线锁不住焦点位置，那就别锁：把两种摆法都写出来，各算一遍离心率， 看结果是不是同一个数。这条路多花二十秒，换来的是不欠账——而且它顺手证明了解法一那个 「补上的假设」为什么无害。

① 摆法甲：焦点在 $x$ 轴上。

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\qquad \text{渐近线 } y=\pm\frac ba x .$$

与 $y=\pm x$ 比对得 $\dfrac ba=1$，即 $b=a$。代入双曲线的 $a$、$b$、$c$ 关系：

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}=2a^{2}\ \Longrightarrow\ c=\sqrt2\,a\ \Longrightarrow\ e=\frac ca=\sqrt2 .$$

② 摆法乙：焦点在 $y$ 轴上。

$$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,\qquad \text{渐近线 } y=\pm\frac ab x .$$

（这一套里 $a$ 仍是半实轴长，只是实轴改成了竖着的，所以渐近线的斜率变成 $\dfrac ab$—— 写渐近线时跟着实轴走，别背成永远是 $\dfrac ba$。）

与 $y=\pm x$ 比对得 $\dfrac ab=1$，同样得 $b=a$，于是

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}=2a^{2}\ \Longrightarrow\ e=\frac ca=\sqrt2 .$$

③ 两种摆法给出同一个数，所以不必分类作答：

$$e=\sqrt2 ,$$

选 C。

④ 为什么必然相同（这才是要带走的东西）。 两种摆法的共同结论是 $a=b$， 也就是半实轴与半虚轴等长——实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。而

$$a=b\ \Longrightarrow\ e=\sqrt{1+\left(\frac ba\right)^{2}}=\sqrt2 ,$$

这个推导里根本没出现坐标轴：$e$ 只由 $\dfrac ba$ 决定，而 $\dfrac ba$ 与双曲线摆在哪个方向无关。 所以等轴双曲线的离心率恒为 $\sqrt2$，与摆法无关。

这两条路差在哪。 解法一快：认出 $\dfrac ba=1$，套公式，两行完事——考场上就该这么写。 解法二稳：它把「焦点位置没给」这件事摆到明面上，并给出结论「本题不受影响」的理由。 两条路的分水岭不是「所求是不是比值」——那句话是错的，分水岭在渐近线的斜率是不是 $1$：

• 斜率恰为 $1$（等轴双曲线，本题）——两种摆法都给出 $a=b$，离心率同为 $\sqrt2$， 所以解法一那个「不妨设焦点在 $x$ 轴上」在本题无害；
• 斜率 $m\neq1$——两种摆法给出不同的 $\dfrac ba$：焦点在 $x$ 轴上时 $\dfrac ba=m$， 焦点在 $y$ 轴上时 $\dfrac ab=m$ 即 $\dfrac ba=\dfrac1m$。于是离心率是 $\sqrt{1+m^{2}}$ 或 $\sqrt{1+1/m^{2}}$，两个值不等。 举个数：渐近线 $y=\pm2x$，焦点在 $x$ 轴上得 $e=\sqrt5$， 焦点在 $y$ 轴上得 $\dfrac ba=\dfrac12$、$e=\dfrac{\sqrt5}{2}$——连问离心率都得分两种摆法作答。

所以「所求是个比值」并不能免掉分类讨论；本题免掉了，靠的是 $m=1$ 这个特殊性 （$\sqrt{1+m^{2}}=\sqrt{1+1/m^{2}}$ 当且仅当 $m=1$）。 至于问标准方程（要具体的 $a$、$b$，还要知道横竖），渐近线条件更是不够： 必须再给一个条件（过某点、焦距、实轴长），而且仍要分两种摆法作答。

记一句话版本：渐近线只给比，不给值，也不给方向——它给的「比」只到 「$\dfrac ba$ 与 $\dfrac ab$ 里的某一个」，是哪一个，要靠焦点位置才定得下来。

🕳️ 避坑

本题四个选项恰好是四种典型错法的产物：

选项	它从哪来	错在哪
A $\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac ac$	把 $e$ 写倒了——$e=\dfrac ca$，不是 $\dfrac ac$。双曲线的 $e>1$，$\dfrac{\sqrt2}{2}<1$ 直接出局
B $1$	误以为 $a=c$	$e=1$ 是抛物线的离心率；双曲线的 $e$ 必 $>1$，取不到 $1$
C $\sqrt2$	$e=\sqrt{1+1}$	正确
D $2$	$e^{2}=1+1=2$ 忘开方	算到 $e^{2}=2$ 就停笔了；也可能把 $c^{2}=2a^{2}$ 读成 $c=2a$

• $e$ 的取值范围先记牢，能当场筛掉一半选项。 椭圆 $0<e<1$、抛物线 $e=1$、双曲线 $e>1$。 本题问的是双曲线，A 与 B 不必算就能划掉。
• 「$a=b$」不等于「$a=b=1$」。 原卷解析里写的「所以 $a=b=1$」是顺手取的一个特例 （取 $1$ 最省事，算比值时确实无碍），但它不是条件推出来的：渐近线为 $y=\pm x$ 的双曲线 有无穷多条（$x^{2}-y^{2}=k$，$k\neq0$ 任意），它们的 $a=b=\sqrt{|k|}$ 各不相同， 离心率却全是 $\sqrt2$。写成「$a=b$，故 $e=\sqrt2$」才是不多说话的写法。
• 渐近线的斜率跟着实轴走。 焦点在 $x$ 轴上时斜率是 $\pm\dfrac ba$， 焦点在 $y$ 轴上时是 $\pm\dfrac ab$。背成一个方向，遇到竖着摆的双曲线就会把 $a$、$b$ 对调， 本题因 $a=b$ 恰好看不出来，别的题就会错。

顺带记住这条互为共轭的关系：$x^{2}-y^{2}=1$ 与 $y^{2}-x^{2}=1$ 渐近线完全相同， 一个开口左右、一个开口上下，合起来正好把渐近线分出的四块区域填满两组对角。 教学图画的就是这一对。但共轭双曲线的离心率一般并不相同——本题两条相同， 又是 $a=b$ 的功劳：换成 $\dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 与 $y^{2}-\dfrac{x^{2}}{4}=1$， 它们同样共用渐近线 $y=\pm\dfrac12x$，离心率却分别是 $\dfrac{\sqrt5}{2}$ 与 $\sqrt5$。

对照选项 A. $\dfrac{\sqrt2}{2}$、B. $1$、C. $\sqrt2$、D. $2$，故选 C。