设线联立用韦达定理

解题套路

1. 设线：动直线设 $y=kx+m$（斜率不存在那条另行交代，见易错点「过定点设直线漏斜率不存在」）；若直线必过 $y$ 轴上的定点而可能水平，改设 $x=ty+m$ 更省事。
2. 联立：代入曲线方程，整理成关于 $x$（或 $y$）的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，并确认 $a\ne0$、$\Delta>0$。
3. 只取和与积：$x_1+x_2=-\dfrac ba$、$x_1x_2=\dfrac ca$。两个交点各自在哪，从此不必知道。
4. 把所求化成对称式：所求（弦长、面积、斜率之和、定点条件……）先化成只含 $x_1+x_2$ 与 $x_1x_2$ 的式子，再整体代入，得到一个只含参数的函数。
5. 回到一元问题：对那个参数求最值 / 解方程 / 验定值。

为什么值得单独记

联立之后的方程一般根很丑（带根号），逐个求根再代入必然算崩。这条套路的全部价值在第 3、4 步： 所求只要能写成 $x_1,x_2$ 的对称式，就永远不需要根本身。判断一道题能不能走这条路，就看所求 能不能对称化。

弦长这一步常配一句现成的换算：$C$、$D$ 在斜率为 $k_0$ 的同一条直线上时

由两点间距离公式一步得到（纵坐标差 $=k_0\times$ 横坐标差）。

用在本题

浙江 2022 q21(2)：设 $AB:y=kx+\frac12$，与 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$ 联立得 $(12k^2+1)x^2+12kx-9=0$； $C$、$D$ 的横坐标 $x_C=\frac{4x_1}{(2k+1)x_1-1}$ 作差后分子塌成 $4(x_2-x_1)$、分母是对称式 $(2k+1)^2x_1x_2-(2k+1)(x_1+x_2)+1$，整体代入后 $12k^2+1$ 全约掉，只剩 $|CD|=\frac{3\sqrt5}{2}\cdot\frac{\sqrt{16k^2+1}}{|3k+1|}$。