浙江 2022 · 数学 q16

题面

16. 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线交双曲线于点 $A(x_1, y_1)$，交双曲线的渐近线于点 $B(x_2, y_2)$ 且 $x_1 < 0 < x_2$。若 $|FB| = 3|FA|$，则双曲线的离心率是 ____.

答案

$\frac{3\sqrt{6}}{4}$

解析

分析

联立直线 $AB$ 和渐近线 $l_{2}: y = \frac{b}{a} x$ 方程，可求出点 $B$，再根据 $|FB| = 3|FA|$ 可求

得点 A，最后根据点 A 在双曲线上，即可解出离心率.

过 F 且斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线 $AB: y = \frac{b}{4a}(x + c)$ ，渐近线 $l_{2}: y = \frac{b}{a}x$ ， 联立 $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{b}{4a}(x+c)\\ y&=\frac{b}{a}x\end{aligned}\right.$ ，得 $B\left(\frac{c}{3},\frac{bc}{3a}\right)$ ，由 $|FB|=3|FA|$ ，得 $A\left(-\frac{5c}{9},\frac{bc}{9a}\right)$ ， 而点A在双曲线上，于是 $\frac{25c^{2}}{81a^{2}}-\frac{b^{2}c^{2}}{81a^{2}b^{2}}=1$ ，解得： $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{81}{24}$ ，所以离心率 $e=\frac{3\sqrt{6}}{4}$ . 故答案为： $\frac{3\sqrt{6}}{4}$ .