浙江 2022 · 数学 q16

冷启动：把图摆出来，先把三件事定死

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$，左焦点 $F(-c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。过 $F$ 作斜率为 $\dfrac{b}{4a}$ 的直线，它交双曲线于 $A(x_1,y_1)$、交渐近线于 $B(x_2,y_2)$，且 $x_1<0<x_2$，$|FB|=3|FA|$。求离心率 $e=\dfrac ca$。

① 这条直线的方程。 过 $(-c,0)$、斜率 $\dfrac{b}{4a}$：

$$y=\frac{b}{4a}(x+c)$$

② 是哪一条渐近线？ 双曲线的渐近线有两条：$y=\pm\dfrac ba x$。题面给了 $x_2>0$，这句话就是用来挑的：

• 取 $y=-\dfrac ba x$：$\dfrac{b}{4a}(x+c)=-\dfrac ba x\Rightarrow x+c=-4x\Rightarrow x=-\dfrac c5<0$ ✗；
• 取 $y=\dfrac ba x$：$\dfrac{b}{4a}(x+c)=\dfrac ba x\Rightarrow x+c=4x\Rightarrow x=\dfrac c3>0$ ✓。

用的是 $y=\dfrac ba x$ 这一条。 顺带注意：直线的斜率 $\dfrac{b}{4a}$ 只有渐近线斜率的 $\dfrac14$，所以它比渐近线平缓，从左焦点出发向右上方走，必然会从下方追上并穿过这条渐近线——交点存在，不必担心平行。

③ $|FB|=3|FA|$ 有两种位置。 绝对值只说远近、不说朝向。$A$ 在 $F$ 的哪一侧，题面没直说：

• 情形 Ⅰ：$A$、$B$ 在 $F$ 的同侧，即 $\overrightarrow{FA}=\dfrac13\overrightarrow{FB}$（$A$ 落在线段 $FB$ 内）；
• 情形 Ⅱ：$A$、$B$ 分居 $F$ 两侧，即 $\overrightarrow{FA}=-\dfrac13\overrightarrow{FB}$。

两种都要算。 别指望 $x_1<0$ 能替你排掉一种——下面会看到，情形 Ⅱ 的 $x_1$ 也是负的，它得靠最后一步才露馅。

④ 要求的是 $e$，不是 $a$、$b$、$c$。 所以整道题只需要凑出 $\dfrac{c}{a}$（或 $\dfrac ba$）这一个比值，$a$ 与 $b$ 各自是多少无关紧要——这决定了下面每一步都可以放心地把 $b$ 留在式子里，它最后会自己消掉。

解法一：联立求出 B，再按比例回推 A 的坐标

怎么想到的。 题目把 $A$ 藏在「与 $B$ 的距离比」里，而 $B$ 是两条已知直线的交点——能直接算的先算。$B$ 一到手，$A$ 就只是沿着同一条直线按比例走一段的事。

① 先定是哪一条渐近线。 渐近线有两条 $y=\pm\dfrac bax$，题面的 $x_2>0$ 就是用来挑的：

• 取 $y=-\dfrac bax$：$\dfrac{b}{4a}(x+c)=-\dfrac bax\Rightarrow x+c=-4x\Rightarrow x=-\dfrac c5<0$ ✗；
• 取 $y=\dfrac bax$：$\dfrac{b}{4a}(x+c)=\dfrac bax\Rightarrow x+c=4x\Rightarrow x=\dfrac c3>0$ ✓。

这一步千万别跳。 若错用 $y=-\dfrac bax$，后面每一步都照样走得通：$B\left(-\dfrac c5,\dfrac{bc}{5a}\right)$、$A\left(-\dfrac{11c}{15},\dfrac{bc}{15a}\right)$、代入得 $\dfrac{120c^2}{225a^2}=1$，$e=\dfrac{\sqrt{30}}{4}\approx1.369$——它 $>1$、$x_1<0$ 也满足，本题所有其它条件都拦不住这个假答案，只有 $x_2>0$ 能。

② 联立求 $B$。

$$\begin{cases} y=\dfrac{b}{4a}(x+c)\\[4pt] y=\dfrac ba x \end{cases} \Longrightarrow\ \frac{b}{4a}(x+c)=\frac ba x \Longrightarrow\ x+c=4x \Longrightarrow\ x=\frac c3$$

代回得 $y=\dfrac ba\cdot\dfrac c3=\dfrac{bc}{3a}$，故

$$B\left(\frac c3,\ \frac{bc}{3a}\right)$$

③ 从 $F$ 走向 $B$ 的位移。

$$\overrightarrow{FB}=\left(\frac c3-(-c),\ \frac{bc}{3a}-0\right)=\left(\frac{4c}{3},\ \frac{bc}{3a}\right)$$

④ 按比例回推 $A$（两种情形各一次）。

情形 Ⅰ（同侧）：$\overrightarrow{FA}=\dfrac13\overrightarrow{FB}=\left(\dfrac{4c}{9},\dfrac{bc}{9a}\right)$，于是

$$A=F+\overrightarrow{FA}=\left(-c+\frac{4c}{9},\ \frac{bc}{9a}\right)=\left(-\frac{5c}{9},\ \frac{bc}{9a}\right)$$

情形 Ⅱ（异侧）：$\overrightarrow{FA}=-\dfrac13\overrightarrow{FB}$，于是

$$A=\left(-c-\frac{4c}{9},\ -\frac{bc}{9a}\right)=\left(-\frac{13c}{9},\ -\frac{bc}{9a}\right)$$

两个 $x_1$ 都是负数，$x_1<0$ 这一条谁也排不掉。

⑤ 把 $A$ 代进双曲线方程——这一步同时定 $e$、也淘汰假解。

注意一个便宜：$A$ 的纵坐标形如 $\pm\dfrac{bc}{9a}$，平方后除以 $b^2$，$b$ 直接消失：

$$\frac{y_1^2}{b^2}=\frac{1}{b^2}\cdot\frac{b^2c^2}{81a^2}=\frac{c^2}{81a^2}$$

情形 Ⅰ：

$$\frac{1}{a^2}\cdot\frac{25c^2}{81}-\frac{c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{25c^2-c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{24c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{c^2}{a^2}=\frac{81}{24}=\frac{27}{8}$$ $$e=\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt3\cdot\sqrt2}{2\cdot 2}=\boxed{\frac{3\sqrt6}{4}}$$

$e=\dfrac{3\sqrt6}{4}\approx1.837>1$ ✓，合法。

情形 Ⅱ：

$$\frac{169c^2}{81a^2}-\frac{c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{168c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{c^2}{a^2}=\frac{81}{168}=\frac{27}{56}<1$$

$e<1$ 与「双曲线的 $e>1$」矛盾，情形 Ⅱ 无解，舍去。

所以 $e=\dfrac{3\sqrt6}{4}$。

解法二：不求 B，用 A 到渐近线的距离把 A 卡死

怎么想到的。 解法一为了得到 $A$，先绕道算了 $B$。可题目问的是 $e$，$B$ 只是个跳板——能不能不算它？

能。关键是这个事实：一条直线上的点，到另一条定直线的距离是线性变化的，在交点处为零。$B$ 正是我们那条直线与渐近线的交点，所以对直线上任一点 $P$，

$$d(P,\ \text{渐近线})=|PB|\cdot\sin\theta\qquad(\theta \text{ 是两直线夹角，定值})$$

于是距离之比 $=$ 到 $B$ 的距离之比。$|FB|$ 与 $|AB|$ 的比是已知的，距离比也就已知了——完全不需要 $B$ 在哪。

① 先定是哪一条渐近线。 渐近线有两条 $y=\pm\dfrac bax$，与本题这条直线都相交，所以必须挑。题面的 $x_2>0$ 就是用来挑的：

• 取 $y=-\dfrac bax$：$\dfrac{b}{4a}(x+c)=-\dfrac bax\Rightarrow x=-\dfrac c5<0$ ✗；
• 取 $y=\dfrac bax$：$\dfrac{b}{4a}(x+c)=\dfrac bax\Rightarrow x=\dfrac c3>0$ ✓。

这一步千万别跳。 错用另一条，这套机器照样走得通：$bx_1+ay_1=\dfrac b4(5x_1+c)$，$|5x_1+c|=\dfrac{8c}{3}$ 给 $x_1=-\dfrac{11c}{15}$，代入得 $e=\dfrac{\sqrt{30}}{4}\approx1.369$——$>1$、$x_1<0$ 全都满足，下面那两道筛子（舍正根、舍 $e<1$）一个也拦不住它。

于是取 $l:\ y=\dfrac bax$，即 $bx-ay=0$。

② 把长度比翻成距离比。 $A$ 在直线 $FB$ 上，写成 $A=F+t\,\overrightarrow{FB}$。由 $|FA|=\dfrac13|FB|$ 得 $|t|=\dfrac13$，即

$$t=\pm\frac13\qquad(\text{只有这两个位置，没有第三种})$$

而点到 $l$ 的距离沿这条直线线性变化、在交点 $B$（即 $t=1$）处为零，所以

$$d(A,l)=|1-t|\cdot d(F,l)$$

• $t=+\dfrac13$（情形 Ⅰ，$0<t<1$ 说明 $A$ 落在 $F$ 与 $B$ 之间）：$d(A,l)=\dfrac23 d(F,l)$；
• $t=-\dfrac13$（情形 Ⅱ，$A$ 在 $F$ 的另一侧）：$d(A,l)=\dfrac43 d(F,l)$。

③ $d(F,l)$ 是现成的：等于 $b$。

$$d(F,l)=\frac{|b\cdot(-c)-a\cdot 0|}{\sqrt{b^2+(-a)^2}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$$

（焦点到渐近线的距离恒为 $b$——这是双曲线里最值得背的一条，它把 $b$ 变成了图上一段看得见的长度。）所以 $d(A,l)=\dfrac{2b}{3}$。

④ 把这个距离写成 $x_1$ 的方程。 $A$ 在直线上，$y_1=\dfrac{b}{4a}(x_1+c)$，代入距离公式：

$$b x_1-a y_1=b x_1-a\cdot\frac{b}{4a}(x_1+c)=b x_1-\frac b4(x_1+c)=\frac b4\left(3x_1-c\right)$$ $$d(A,l)=\frac{\left|\frac b4(3x_1-c)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{b\,|3x_1-c|}{4c}$$

令它等于 $\dfrac{2b}{3}$，$b$ 两边一起消掉：

$$\frac{|3x_1-c|}{4c}=\frac23 \ \Longrightarrow\ |3x_1-c|=\frac{8c}{3} \ \Longrightarrow\ 3x_1-c=\pm\frac{8c}{3}$$

• $3x_1=c+\dfrac{8c}{3}=\dfrac{11c}{3}\Rightarrow x_1=\dfrac{11c}{9}>0$ ✗（与 $x_1<0$ 矛盾，舍）；
• $3x_1=c-\dfrac{8c}{3}=-\dfrac{5c}{3}\Rightarrow x_1=-\dfrac{5c}{9}$ ✓。

⑤ 情形 Ⅱ 也要走一遍。 $t=-\dfrac13$ 时 $d(A,l)=\dfrac43 b$，同法得 $|3x_1-c|=\dfrac{16c}{3}$，两根为 $x_1=\dfrac{19c}{9}>0$（舍）与 $x_1=-\dfrac{13c}{9}$。

⑥ 代入双曲线定 $e$。 由 $y_1=\dfrac{b}{4a}(x_1+c)$ 把纵坐标补齐，再代进 $\dfrac{x_1^2}{a^2}-\dfrac{y_1^2}{b^2}=1$（$y_1$ 形如 $\pm\dfrac{bc}{9a}$，平方除以 $b^2$ 后 $b$ 自动约掉）：

• 情形 Ⅰ：$x_1=-\dfrac{5c}{9}$，$y_1=\dfrac{b}{4a}\cdot\dfrac{4c}{9}=\dfrac{bc}{9a}$，

$$\frac{25c^2}{81a^2}-\frac{c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{24c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{c^2}{a^2}=\frac{27}{8},\qquad e=\frac{3\sqrt6}{4}\approx1.837>1\ \checkmark$$

• 情形 Ⅱ：$x_1=-\dfrac{13c}{9}$，$y_1=\dfrac{b}{4a}\cdot\left(-\dfrac{4c}{9}\right)=-\dfrac{bc}{9a}$，

$$\frac{169c^2}{81a^2}-\frac{c^2}{81a^2}=1 \ \Longrightarrow\ \frac{c^2}{a^2}=\frac{81}{168}=\frac{27}{56}<1$$

与「双曲线的 $e>1$」矛盾，舍。

$$e=\boxed{\frac{3\sqrt6}{4}}$$

这条路的省力处：卡死 $A$ 的那台机器（②③④）一次也没用到 $B$ 的坐标——第 ① 步算出的 $x=\dfrac c3$ 只用来判哪条渐近线的符号，$B$ 的纵坐标压根没登场；而且 $b$ 在第 ④ 步就整体约掉了，式子里始终只有 $x_1$ 与 $c$ 两个量。

这两条路差在哪

• 解法一是求点：先把 $B$ 这个交点算出来（联立一次），再用向量按比例回推 $A$。它造出的中间对象是 $B$ 的坐标，两种情形分别对应向量前的 $\pm\dfrac13$。
• 解法二是求距离：把「长度之比」换成「到渐近线的距离之比」，用一条距离方程直接卡住 $x_1$。它造出的中间对象是 $A$ 到渐近线的距离，$B$ 的坐标从头到尾没出现；两种情形对应比例 $\dfrac23$ 与 $\dfrac43$。

第一个实质动作就分岔了（联立求交点 vs 写距离方程），中间对象也不同。所以是两条路。

考场上怎么选：填空题、只要 $e$——解法一更稳，联立是肌肉记忆，两次代入就完事。若题目里 $B$ 的坐标本身很难看（比如渐近线斜率带根号、交点分母复杂），或者题目问的干脆就是某种距离，解法二能省掉最脏的一步。

🕳️ 避坑

• 两条渐近线，挑对那一条。 $x_2>0$ 这句话不是废话，它就是用来指定 $y=\dfrac ba x$ 的。用错那条会解出 $x=-\dfrac c5$，与题设矛盾。
• $|FB|=3|FA|$ 不含方向。 两种位置都要算，而且 $x_1<0$ 排不掉异侧那种（它给 $x_1=-\dfrac{13c}{9}$，照样是负的）。真正把它枪毙的是最后一步算出 $e^2=\dfrac{27}{56}<1$——所以那一步不能省，得真算到底。
• $e>1$ 是双曲线的硬约束。 每次解出 $\dfrac{c^2}{a^2}$ 都回头看一眼：小于 $1$ 就说明这一支情形不存在，不是算错。
• 别把 $B$ 当成双曲线上的点。 $B$ 在渐近线上，而双曲线与渐近线永不相交。把 $B$ 代进 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 会得到 $0=1$。
• 距离公式里的绝对值别丢（解法二）。$|3x_1-c|=\dfrac{8c}{3}$ 是两个方程，漏掉一支就可能把正确的那个 $x_1$ 丢了。
• $b$ 会自己消掉，别急着换元。 无论走哪条路，$y_1$ 里的 $b$ 与分母 $b^2$ 恰好抵消。有人一上来就设 $b=ka$ 引入新字母，反而多算一轮。